寂寞星球-notonlybutalso

奥数十二讲
牛吃草问题（一）
牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由 牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫
做牛吃草问题。英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数 学题：牧场上有一片青草，
每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给1 6头牛吃，可以
吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
解题关键
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环
节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数
想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的 总量与16
头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草 ，平均
分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这
个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉
原有的草，即可求出 全部头牛吃的天数。
设一头牛1天吃的草为一份。
那么10头牛22天吃草为 1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160
份
（220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110份，说明原有老草110份。
综合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。
牛顿曾提出的问题
< br>牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：条公牛在四
个星期内吃掉了三 又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧
草，问多少条公牛在18个星期内吃 掉24由格尔的牧草？

（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米） 。这个著名
的公牛问题叫做“牛顿问题”。牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些，那是因为
我站在巨人的肩膀上”。

牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公 牛在四星期内吃掉三又
三分之一由格尔的牧草、则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内 ，或
八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期
只吃 掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够
21-16=5头公牛吃 9星期，或足够52头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即
18个星期减去初的四个星期）内 新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=52：
7。前已算出，如牧草不长，则10由格 尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考
虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际 可供15头公牛吃18个星
期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星 期。
牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y
由 格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的，
根据题意，设若所求的公牛头 数为x，则（103+103）
*4y(12*4)=(10+10*9y)(21*9)=(24+2 4*18y)18x
解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。
还有一种方法就是使用方程式的解法。
例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少
牛能够2天吃完？
我们做方程式：设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食
用，N头牛能够2天将草吃完，根 据题目条件，我们列出方程式：
y=(9-x）×3
y=(5-x) ×6
y=(N-x) ×2

解方程组得x=1 y=24 N=13
其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数- 单位时间长草
量可供应的牛的数量）×天数

解法二：
牛吃草 问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若
每头牛每天的吃草速率和吃草量 都不相同，那么此题无解，为什么？因为很可能一头
牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食欲 不佳一个月吃都不完这些草，因
此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够 得到答案
的充要条件。
得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如 何确定？不难想
到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是我们就可以假设一头牛一天的吃草量为M，并假设第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻
找平衡方程，我 们可以看到，在问题提供的条件中，第一种情况的草地总量为
10×M×22，第二种情况的草地总量为 16×M×10，第三种情况的草地总量为25×M×N。

然后我们开始寻找方 程的平衡：既然我们现在已经找到三种情况里草
地的总量，那么不难想到方程的另一边就要靠草的量来进 行平衡，于是，
我们假设原有草量为Y，草每天的生长量为X，得到如下方程组：
10×M×22=22X+Y
16×M×10=10X+Y
25×M×N=NX+Y
解此方程组，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25头牛用五天半的
时间就能吃完这些草。
规律总结

牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解 答这类
题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原
有的 草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但
如果是匀速生长，我们也 能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
方法指导：通常思路
①把 每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生长的草量是多少；
③求出原来的草量 是多少；④假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几
天（周）数即为所求。由于牛吃 草的天数不同。
例题：例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23
头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？
【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的 关键应找到不变量——即
原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出 的草
虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不
变的。
从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么
不变 啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是
不变的，对吧？这 就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知
数的方法，叫做设“1”法。我 们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，
也不用管它，设草每天增长的数量是a份， 设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程
了：27*6=b+6a；23*9=b+9a
【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛
吃10天，那么可 供18头牛吃几天？
15天．设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷
(1 0-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）
=15天
例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知
牧 场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头
牛吃10天? < br>【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，
但是，我们同样可 以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量

【思考2】由于天气逐渐变冷， 牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧
场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
8天，设一头牛一天吃的草量为一份。 牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）
=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
总结：想办法从变化中找到不变的量。 牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，
但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不 变的。正确计算草地上原有的草及每
天新长出的草，问题就会迎刃而解。
知识衍变
牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知
道怎么做 ，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法
例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明 和小丽从扶梯上楼，已知小明每分
钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小 丽用了6分钟分别
到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
【
分析
】
在 这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台
阶”，“牛”变成了“速度” ,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。
【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天 往下爬，两只蜗牛的爬行
速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑 ，两只蜗
牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了
6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
15米。
蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米
所以井深：（20+10）×5=150分米=15米
例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的 速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些
水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水， 要10小时才能舀完。现在
要想在2小时舀完，需要多少人？
【
分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键
【思考4】一个 水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，
用15部相同的抽水机10小时可 把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把
水抽干？
5小时。设一台抽水机一小时 抽水一份。则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）
÷(20-10)=5份，池内原有的 水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100
÷(25-5)=5小时
1、
2、
牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天 ，或者可供15头牛吃10
天。问：可供25头牛吃几天？
一个水池装一个进水管和三个同样 的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水
管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟 后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后
水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
3、
4、
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少 。已知某块草地上的草
可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天 ？

自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走2 0级梯
级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该
扶梯共有多少级？

5、