村上春树挪威的森林-关于法律的作文

第十七讲 牛吃草问题

什么是“牛吃草问题”呢？同学们先来看看一个简单的例子：
仓库里有一堆草，给4头牛吃，6天可以吃完，如果给3头牛吃，几天能吃完？
这道题该怎么处理呢？我们可以借助下面这个关系式来进行求解：
牛数天数吃草的总量

由于每头牛每天的吃草量是不变的，因此可以把它设为单位 “1”．这样4头牛6天吃掉
的草量就等于
4624
个单位，而3头牛每天吃掉“ 3”个单位的草，因此3头牛需要
2438
天才能吃完．
大家看，牛吃草问题是 不是很简单？但是，这道题还不是真正的“牛吃草问题”呢．真
正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库 里吃草，而是去一片草地上吃草．大家能看出这其
中的区别吗？地方更宽敞？草更新鲜？当然不是这些， 最大的区别在于，仓库里草的总量是
固定不变的，而草地上的草还在不停地生长，这样一来问题一下子就 变复杂了．不过大家不
用害怕，有了上面设单位“1”的方法后，这类题目的解法是很容易的，大家可以 从下面的
例子中学到这种方法．
首先我们来看一下例题1，当草地原草量和生长量都告诉我们 的时候，我们该如何解决
“牛吃草问题”．-

例题1
一块草地有草180份，每天长5份．如果每头牛每天吃1份草，那么：
（1）要使得草永远吃不完，那么最多放养_______头牛；
（2）6头牛，吃_______天；
（3）10头牛，吃_______天；
（4）_______头牛，吃18天；
（5）_______头牛，吃15天．
「分析」原有草量已知，要计算多少天可以把草吃完，关键是找出每天减少多少草量．


练习1
一块草地有草60份，每天长2份．那么：
（1）要使得草永远吃不完，那么最多放养_______头牛；
（2）5头牛，吃_______天；
（3）7头牛，吃_______天；
（4）_______头牛，吃10天；
（5）_______头牛，吃15天．

当原草量和生长量都未知时，我们该怎么办呢？

例题2
有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天就把草 吃
完了；如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了．
（1）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？
（2）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？
「分析」这是最常见的牛吃草问题，这类问 题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长．假设
1头牛1天吃1份草，会发现两种放养方法吃的总草量不 同．为什么会这样呢？因为两次草
生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了．

练习2
有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如
果放养21头牛，那么8天就把草吃完了．
（1）放养多少头牛，12天才能把草吃完？
（2）要使得草永远吃不完，那么最多放养多少头牛？



我们可以把例2的方法总结一下，得出牛吃草问题的基本解题步骤：
1. 将每头牛每天的吃草量设为单位“1”；
2. 比较已知条件中的牛的吃草总量，算出草每天的生长量；
3. 计算草地原有草的总量；
4. 根据所问问题求解．

前面的两道题都是草在生长，草的总量在增加．而实际 生活中，草量有时也会随着时间
不断减少，那么碰到这样的问题我们该怎么办呢？下面就来看一道这样的 问题．

例题3
进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少． 现在开始在这片牧场
上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草 吃完．
（1） 放养多少只羊，12天才能把草吃完？
（2） 如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天？
「分析」本题在羊吃草的同时，草也在不断的减少，这也是 牛吃草问题的一种．同前面的问
题一样，我们还是要对比一下两个已知条件，算出草的减少速度和原有草 总量．

练习3
进入冬季，有一片牧场上的草开始枯萎，因此均匀地减少．若 在这儿放牛，可以供32
头牛吃24天，或者供27头牛吃28天．
（1）放养多少头牛，12天才能把草吃完？
（2）如果在这片牧场上养21头牛，那么草可以供吃多少天？



例题4
有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天 也可
将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．那么17头牛和20只羊多少
天可将草吃完？
「分析」这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可．


练习4
一片草场，草每天都在均匀生长．如果在这片草场上放20头牛和24头羊 ，那么18天
可以吃完；如果在这片草场上放15头牛和54头羊，那么15天就把草吃完．已知，一头 牛
每天吃的草量相当于3只羊每天吃的草量，请问如果在这片草地上放12头牛和18头羊可以
吃几天？



在前面的例题中，牛总是听话地呆在某一块草地上吃草，因 此在吃的过程中，牛的数量
不会发生改变．而实际上，牛有时不会老老实实呆在一块草地上的，它们会四 处走动，而牛
一走动就会改变草地上牛的数量．
那么在吃草的过程中，牛的数量发生变化又该如何处理呢？请大家来看下面的问题．

例题5
一片草地，草每天都在均匀生长．有15头牛吃草，8天可以把草全部 吃完．如果起初
这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头 牛吃
了2天后，又来了5头牛，则总共需要多少天可以把草吃完？假定草生长的速度不变，每头
牛每天吃的草量相同．
「分析」这道题牛的数量在变化，但同其他牛吃草问题一样，还是需要通过比较 草量的变化
求出每天生长的草量和原有草量．



有很多的问题 看上去和“牛吃草”毫无联系，但仔细观察就会发现，它们都只是换了个
形式的“牛吃草”而已．这样的 问题通常都可以看成牛吃草问题来求解，下面我们来看一个
这样的例子．

例题6
有一个蓄水池装有8根排水管，某天天降大雨，雨水以均匀的速度不停地向这个蓄水池
注入．后 来有人想打开排水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把
8根排水管全部打开， 需3小时把池内的水全部排光；如果打开5根水管，需6小时把池内
的水全部排光．想要4.5小时把池 内的水全部排光，需同时打开多少根排水管？
「分析」雨水注入蓄水池，排水管往外排水，这和牛吃草 问题有什么类似呢？什么量相当于
牛、什么量相当于草呢？




课堂内外
牛顿的故事

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿
提出来的．
牛顿Newton（1642～1727，英国人）是大科学家，是近代科学的象征．他
在世时作为科 学界的主宰几乎被当作偶像崇拜．他作为英国皇家学会连任24年
的终身会长，法国科学院至尊的外国院 士，还兼任英国造币局局长和国会议员，

并前所未有地被封为贵族，获得爵士称号．他死 后作为自然科学家又第一个获得
国葬，长眠于威斯敏斯特教堂，这是历代帝王和一流名人的墓地．牛顿去 世之后，
他的声望有增无减．他不仅有不朽的著作《自然哲学的数学原理》《光学》等流
传于世 ，而且由于后继大师们的发展，他的思想观念长期统率着科学战线上的士
卒．他在物理、数学研究上的主 要成果，至今仍是各国大中学生必修的功课．
牛顿名言：
“我不知道在别人看来，我是什么 样的人；但在我自己看来，我不过就像是
一个再海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石 或比寻常更为美
丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没
有发现．”
“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上．”
“无知识的热心，犹如在黑暗中远征．”
“你该将名誉作为你最高人格的标志．”
“我能算出天体运行的轨道，却算不出人性的贪婪．”




作业
1. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把 草吃
完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．那么要使得草永远吃不完，最多可
以放 养多少头牛？

2. 有一片牧场，草每天 都在均匀地生长．如果放养8头牛，8天就把草吃完了；如果放养
10头牛，6天就把草吃完了．如果放 养14头牛，多少天就能把草吃完？





3. 有 一片均匀生长的草地，可以供1头牛吃40天，或者供5只羊吃20天，如果1头牛每
天吃草量相当于3 只羊每天吃的草．那么这片草地每天生长的草可供多少只羊吃1天？
这片草地的原草量可供多少只羊吃1 天？如果让1头牛与6只羊一起吃可以吃多少天？




4. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20
头牛吃5天，或可 供16头牛吃6天．那么，如果没有放养牛，牧场上的草全部枯萎需
要多少天？




5. 一片草地，可供8头牛吃30天或者供10头牛吃25天．那么这片草地可供4头牛吃多
少天？

第十七讲 牛吃草问题
1. 例题1
答案：5；180；36；15；17
详解：
（1）要使 得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以
需要放养5头牛；
（2 ）方法一：6头牛每天吃6份，而草每天长5份，实际相当于每天消耗1份草，
一共能吃
180 1180
天；方法二：6头牛派5头牛去吃每天新生长的草，而1头
牛吃原草，仍然是18 0天；
（3）方法同第二问，
180

105

3 6
天；
（4）方法一：18天，原草与新草一共是
180518270
份，吃了18天，所以每
天要吃
2701015
份，所以需要15头牛；方法二 ：原草180份，吃18天，需要
10头牛，但是还要有5头牛吃每天新长的草，一共要15头牛；
（5）方法同第四问，
18015517
头．

2. 例题2
答案：14；5
详解：
（1）设每头牛每天吃1份草，18头牛10天吃 180份，24头牛7天吃168份．相
差了
18016812
份，是因为多长了
1073
天的草，所以草每天的生长量是
10天后是180份，10天长了40份 新草，所以原草量是
180401401234
份．
份．140份草要14天 吃完，需要10头牛，其中还需要4头牛吃每天的新草，一共
需要
10414
头牛 ；
（2）32头牛中有4头牛吃新草，剩下28头牛吃原有的140份草，所以需要吃
140 285
天．

3. 例题3
答案：90；40
详解： < br>（1）设每只羊每天吃1份草，38只羊25天吃950份，30只羊30天吃900份．相
差了
95090050
份，是因为多枯萎了
30255
天的草，所以草每 天的枯萎量
是
50510
份．30天后是900份，30天枯萎了
30 10300
份草，所以原草量是
9003001200
份．1200份草要12 天吃完，即每天减少100份，其中每天枯萎
10份草，所以每天羊吃90份草，所以放养90只羊；
（2）每天枯萎10份，放养20只羊，则每天一共减少30份，把1200份草吃光，
需要< br>12003040
天．

4. 例题4
答案：10
详解：设每只羊每天吃1份草． 14头牛可换为56只羊，所以56只羊30天 吃
56301680
份；70只羊16天吃
70161120
份．每 天的生长量是

16801120



3016
40
份，原草量是
16803040480
份．17
天．

5. 例题5
答案：6天
详解：
头牛和20
只羊相当于88只羊，其中有40只羊吃新草，剩下48只羊吃480份原草，需要10
设每头牛每天吃 1份草，15头牛8天吃120份；15头牛7天，2头牛5天吃
15725115
份 ．每天草的生长量是

120115



87

5
份．原草量是
1205880
份．如果15头牛吃了2天，有 5头牛吃原草，相当于还有10头牛
在吃原草，原草还剩下
8010260
份． 20头牛中5头牛吃每天新长的草，剩下
的15头牛吃原有草，需要
60154
天 ．一共用了
246
天．

6. 例题6
答案：6根
详解：设每根水管每小时排1份水，8根3小时排24份水，5根6小时排30份水，
雨水每小时注入

3024



63

2
份水，池内原有
242318
份水．2根水
管用来排新注入的雨水，原水需要
184.54
根水管，一共需要同时打开6根水管．

7. 练习1
答案：2；20；12；8；6
简答：
（1）要使得草永远吃不完，放养的牛数又 要最多，就一定是长多少吃多少，所以
需要放养2头牛；
（2）方法一：5头牛每天吃5份， 而草每天长2份，实际相当于每天消耗3份草，
一共能吃
60320
天；方法二： 5头牛派2头牛去吃每天新生长的草，而3头牛
吃原草，仍然是20天；
（3）方法同第二问 ，
60

72

12
天；
（4）方法一： 10天，原草与新草一共是
6021080
份，吃了10天，所以每天
要吃80108
份，所以需要8头牛；方法二：原草60份，吃10天，需要6头牛，
但是 还要有2头牛吃每天新长的草，一共要8头牛；
（5）方法同第四问，
601526
头．

8. 练习2
答案：18；12
简答：
（1）设每头 牛每天吃1份草，24头牛6天吃144份，21头牛8天吃168份．相差
了
168144 24
份，是因为多长了
862
天的草，所以草每天的生长量是
242 12
份．6天后是144份，6天长了72份新草，所以原草量是
1447272
份．72份草要12天吃完，需要6头牛，其中还需要12头牛吃每天的新草，一共
需要
6 1218
头牛；
（2）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少 ，所以
需要放养12头牛．

9. 练习3
答案：67；35
简答：
（1）设每头牛每天吃1份草，32头牛24天吃768份，27头牛28天吃756 份．相
差了
76875612
份，是因为多枯萎了
28244
天的草，所以草每天的枯萎量
是
1243
份．24天后是768份，24天枯萎 了
24372
份草，所以原草量是
76872840
份．840份草 要12天吃完，即每天减少70份，其中每天枯萎3份
草，所以每天牛吃67份草，所以放养67头牛；
（2）每天枯萎3份，放养21头牛，则每天一共减少24份，把840份草吃光，需
要
8402435
天．

10. 练习4
答案：30天
简 答：设每只羊每天吃1份草．20头牛可换为60只羊，所以84只羊18天吃
15头牛可换为45只羊 ，所以99只羊15天吃
99151485
份．每
84181512
份；
天的生长量是

15121485



1 815

9
份，原草量是
15129181350
份．1 2
头牛和18只羊相当于54只羊，其中有9只羊吃新草，剩下45只羊吃1350份原草，
需 要30天．

11. 作业1
答案：12头
简答：设每头牛每天吃草“ 1”，
246144
，
218168
，所以草每天生长量为

168144



86

12
．要想草永远吃不完，牛每天吃掉的草不能超过草每天长
的量，最多可放养12头牛，原草量不变．

12. 作业2
答案：4天
简答 ：
8864
，
10660
，草每天生长量为

64 60



86

2
，原草量是
6 06248
．放养14头牛，草每天减少
14212
，经过
48 124
天草就吃完
了．

13. 作业3
答案：1只；80只；10天
简答：设每只羊每天吃草“1”，把牛转换为羊，
3 40120
，
520100
，草每天
长

1201 00



4020

1
，可供1只羊吃一天 ．原有草量是
12040180
，可
供80只羊吃一天．1头牛和6只羊相当于 是9只羊，可以吃
80

91

10
天．

14. 作业4
答案：30天
简答：
205100
，
16696
，比较发现草每天枯萎

10096



65

4
．所
以5天草共枯萎
4520
，原草量是
10020120
，没有牛的话，一共需要
120430
天草全部枯萎．

15. 作业5
答案：50天
简答：
8 30240
，
1025250
，比较30天吃的总草量240，和25天吃的总 草
量250，能判断出草在枯萎．草每天枯萎

250240



3025

2
，原草量是
有4头牛时，每天草的减少 量是
426
，所以经过
300650240302300
．< br>天草吃完了．