天若有情吉他谱-宋代足球小将第二季

让优秀成为习惯
第5讲 牛吃草问题变形

【例题1】东升牧场南面一 块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供
18头牛吃16天，或者供 27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛
吃6天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上
1688
天生长的草量为
181627872
，即每天生长的草量为
7289< br>．那么2000平方米的牧场上原有草量为：

189

161 44
．
则6000平方米的牧场每天生长的草量为
9

6000 2000

27
；原有草量为：
144

6000 2000

432
．6天里，该牧场共提供牧草
432276594
，可以让
594699
(头)
牛吃6天．


【例题2】一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且
长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，
牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决．
把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；
把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天．
那么1公顷牧场每天新生 长的草量为

21545



155

1
，1公顷牧场原有草量为

41

515
．那么6公顷牧场每天新生长的草量为
166
，原有草量为
15690．
8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要
90245
(天)可将原有草吃完，
即它可供8头牛吃45天．
(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来．
设1头 牛1天吃草量为“1”．将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷
的牧场可供48 头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷
的牧场可供24头牛吃1 5天．所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：
1

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
2415485



155

12
，12公顷牧场原有草量为

4812

5180
．那么12公顷牧场
可供16头牛吃
180
1612

45
(天)，所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天．


【例题3】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷 牧场上全部牧
草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草量相等 ，且每公顷牧
场上每天生长草量相等)
【解析】 题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来．
，原条件可转化为： 120公顷牧场48头牛28

10,30,40

120
，设1 头牛1天的吃草量为“1”
天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完．那么120公顷牧场每天新生 长的草量为

28634828
；120公顷牧场原有草量为

4812

281008
．则40公顷


6328

12
牧场每天新生长的草量为
1234
，4 0 公顷牧场原有草量为
10083336
．
在60头牛里先分出4头牛来吃新 生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：
336566
(天)．
< br>【例题4】17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完， 几头
牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)
【解析】 设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉
54221188
份， 说明每公亩牧场54天提供
11883336
份牧草；17头牛84天吃掉
17 841428
份，说明每公亩牧场84天提供
14282851
份牧草．每公亩 牧场
845430
天多提供
513615
份牧草，说明每公亩牧场< br>每天的牧草生长量为
15300.5
份，原有草量为
510.584 9
份．
如果是40公亩的牧场，原有草量为
940360
份，每天新长 出
0.54020
份，24天共提供
牧草
3602024840< br>份，可供
8402435
头牛吃24天．
若想18星期吃完需要：259.2÷18＋21.6＝36（头）牛




2

让优秀成为习惯
【例题5】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10 人淘水，3小时淘完；如5
人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是
(58103)(83) 2
，原有水量
(102)324
，
要求2小时淘完，要安排
242214
人淘水


【例题6】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，
如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众
到达的时间。
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入
33090
。
8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入
51575
，15分钟到来的人数
907515
， 每分
钟到来
15151
。8：30以前原有人
33013060
。 所以应排了
60160
（分钟），即
第一个来人在7：30


【例题7】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时 ，如果每秒向上迈一
级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过3 0级台阶到达地面．从
站台到地面有 级台阶．
【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶 梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一
级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台 阶，那么走过15秒到达地面．问：
从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题的方法， 电梯
20155
秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：
21512010
阶，电梯的速度为
1052
阶秒，扶梯长度为
20(12)60< br>（阶）。


【例题8】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事 去追赶他，若骑自行车，每小时行15
千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时 可以追上；若开汽车，每小时行45千
米， 分钟能追上。
3

让优秀成为习惯
【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在
312
小时内走了
15335110
千米，那么小明的速度为
1025
(千米时)，追及距离为

155

330(千米)．汽车去追
的话需要：
30

455







【练习1】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草 地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲
草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草 ．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草 地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积
相等的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．由于3 0头牛12天能吃完甲草地上的草，相
当于每块上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头 牛12天能吃完乙草地上的草，
20头牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为

1012204



124

5
，
乙草地原有草量为：

205

460
； 则甲、乙两块草地每天的新生长草量为
5420
，原
有草量为：
604 240
．要10天同时吃完两块草地上的草，需要
240102044
(头) 牛．


【练习2】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．草地上 的草一样厚，而且长得一样快．第
一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天． 问：第三块草地可供多少头牛吃80
天？
【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”， 第一块草地可供10头牛吃30天，说明1公顷草地30天
提供
1030560
份草；第二块草地可供28头牛吃45天，说明1公顷草地45天提供
28451584
份草；所以1公顷草地每天新生长的草量为

8460


4530

1.6
份，1公
3
(小时)
45(分钟)．
4
顷原有草量为
601.63012
．24公顷草地 每天新生长的草量为
1.62438.4
；24公顷草地
原有草量为
12 24288
．那么24公顷草地80天可提供草量为：
28838.4803360
，所
以共需要牛的头数是：
33608042
(头)牛．
(法 2)现在是3块面积不同的草地，要解决这个问题，也可以将3块草地的面积统一起来．由
4

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于

5,15,24

120
，那么题中条件可转化为：120公顷草地可供240头牛吃30天，也可供224
头牛吃45天．
设1头牛1天的吃草量为“1”，那么120公顷草地每天新生长的草量为

224 4524030



4530

192
，120公顷草地原有草量为

240192

301440
．120公
顷草地可供
144080192210
(头)牛吃80天，那么2 4公顷草地可供
210542
(头)牛吃80
天．


【练习3】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第
一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周？
【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”，第一块草地可供24头牛吃6周，说明1公顷草地可供6头牛 吃
6周；第二块草地可供36头牛吃12周，说明1公顷草地可供
4.5
头牛吃12周 ．那么1公顷草
地1周新生长的草量为

4.51266



126

3
份，1公顷草地原有草量为

6 3

618
．第三块草地
1810180
．
1 周新生长的草量为
31030
，第三块草地原有草量为
50头牛中，若有30头牛 去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要
180209
周可以把原
有草吃完， 即这块草地可供50头牛吃9周．


【练习4】一只船发现漏水时，已经进了一些 水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘
完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？
46142
【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，
0
分钟的进水量为
34061624
，所以每分
钟的进水量 为
24241
，那么原有水量为：

31

40 80
．5人淘水需要
80

51

20
(分
钟)把水淘完．




5

让优秀成为习惯
【练习5】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若 每分钟来的观众一样多，
如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就 没有人排队．求第一个
观众到达的时间．
【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有 的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增
长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题． < br>设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为
39552
，即1 分钟来的人
为
240.5
，原有的人为：

30.5

922.5
．这些人来到画展，所用时间为
22.50.545
( 分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很 远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众
一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛” 的数量，问题就变成“牛吃草”
问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了 问题的实质．


【练习6】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每 秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级
梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了3 00秒。问：该扶梯共有多少级梯级？
【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于 原有草量；而自动扶梯运行的速度则相
当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子 自己的速度，另一部分是
自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度

（女孩每秒走 的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）
÷（女孩走的时间－男孩走的时间）
(23003100)(300100)1.5
，自动扶梯的梯级总
数＝女孩 每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间
23001.530060 0450150
（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。


【练习 7】快、中、慢三车同时从
A
地出发沿同一公路开往
B
地，途中有骑车人也在 同方向行进，这三
辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车 每分钟行600米，中
速车的速度是多少？
【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离 看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所
以骑车人速度是：
(60014800 7)(147)400
(米分)，开始相差的路程为：
6

让优秀成为习惯
(600400)142800
（米），所以中速车速度为：
28008400750
(米／分)．



【作业】
1、有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10 头牛吃20天，或
可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都 与第一块牧场相
同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？
【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量
15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，
即1天生长草量＝50÷10＝5；
那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；
原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天 生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草
吃完，即它可供75头牛吃5天。 < br>2、三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷． 第
一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周．问第三块牧场上饲 养
多少头牛恰好可以维持18周？
【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”．第一块牧场饲养 12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可
供4头牛吃4周；第二块牧场饲养20头牛，可以维持8 周，相当于1公顷牧场可供
2.5
头牛
吃8周．那么1公顷牧场1周新生长的草量为< br>
2.5844



84

1
，1公顷牧场原有草
量为

41

412
． 24公顷牧场每天新生长的草量为
12424
，原有草量为
1224288< br>，
若想维持18周，需要饲养：
288182440
(头)牛．
3、假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
(9021011090)(21090)75
亿人。 【解析】
7

让优秀成为习惯
4、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟 还有若干人前来进口处准备
进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检 票口，7分钟可以放完旅客．现
要求5分钟放完，需设立几个检票口?
【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
①1分钟新来多少个单位的旅客
1
(41587)(157)

2
②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，
4×１５－
11
×15=52
22
③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
52
11
+×5=55
22
④设立几个检票口
55511
(个)
5、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯 走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每
秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到 达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯
共有多少级？
【解析】 该题属于草匀速减少的情况 ，扶梯的运行速度：
(5016032)(6050)1
。自动扶梯的
梯级总数：
50(11)100
(级)



6、 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如
果甲车 以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，
问：几个 小时后甲车追上乙车？
【解析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长
的草”．
设甲车的速度为“1”，那么乙车
532
小时走的路程为
2533 1
，所以乙的速度为
120.5
，追及路程为：

20.5

57.5
．
如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：
7 .5

10.5

15
(小时)．
8