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牛吃草

1

1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

教学目标
知识精讲

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草 的问题，即牛在牧场上吃草，
牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做 “牛顿问题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增 长，草也在按
不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
① 草的每天生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量

草场原有的草量

新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量

每天生长量

天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度

(对应牛的头数

较多天数

对 应牛的头数

较少天数)

(较多天数

较少天数)； < br>⑶原来的草量

对应牛的头数

吃的天数

草的生长 速度

吃的天数；
⑷吃的天数

原来的草量

( 牛的头数

草的生长速度)；
⑸牛的头数

原来的草量

吃的天数

草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检 票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本
质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问 题．
例题精讲

板块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊；
放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；
若养二十一，可作几周粮？
（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。） < br>【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完 。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【解析】 设1头 牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了
276162
份；23头牛吃9周共吃了
239207
份．第二种吃法比第一种吃法多吃了
20716245
份草，这45份草是牧场的草

963
周生长出来的，所以每周生长的草量为45315
，那么原有草量为：
16261572
．
供21头 牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要
72612
(周)可将原有牧草吃
完，即它可供21头牛吃12周．
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27头牛6个星期
23头牛9个星期
3个星期
21头牛 ？个星期


【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头 牛吃20天，可供15头牛吃10天．供
25头牛可吃几天？
【解析】 设1头牛1天的吃草 量为“1”，10头牛吃20天共吃了
1020200
份；15头牛吃10天共吃了
1510150
份．第一种吃法比第二种吃法多吃了
20015050
份草 ，这50份草是牧场的草
201010
天生长出来的，所以每天生长的草量为
50 105
，那么原有草量为：
200520100
．
供25头牛吃 ，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要
100205
(天)可将原有牧草吃< br>完，即它可供25头牛吃5天．
【巩固】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运 进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，
如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车， 则6天恰好运完。仓库里原有
的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？
【解析】 设
1
辆汽车
1
天运货为“
1
”，进货速度为
(945 6)(96)2
，原有存货为
(42)918
，仓
库里原有的存 货若用1辆汽车运则需要
18118
（天）

【例 2】 牧场上有一 片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头
牛吃18周？
【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为
(239276)(9 6)15
，原有草量为
(2715)672
，可供
721815 19
（头）牛吃18周

【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25 天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃
20天？
【解析】 设1头牛1天的吃草 量为“1”，那么
251015
天生长的草量为
1225241060< br>，所以每天
生长的草量为
60154
；原有草量为：

2 44

10200
．
20天里，草场共提供草
2004 20280
，可以让
2802014
头牛吃20天．

【巩固】 (湖北省“创新杯”)
牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则
头牛96天可以把草吃完．
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草 量为

30607024



6024


10

10

场原有草量为

30

601600
，要吃96天，需要
16009620
( 头)牛．
3

3

10
，牧
3

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等， 每头
牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?
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【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：
( 509587)(97)22
，原有草
量为：
50922925 2
，
(252226)664
(头)

【巩固】 林子里 有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果
要4周吃光野 果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）
【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“
1
”，则野果的生长速度是
(2112239)(129)15
，原有的野
果为
(2315)972
，如果要4周吃光野果，则需有
7 241533
只猴子一起吃

【巩固】 一水库原有存水量一定，河水每天均 匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连
续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多 少台同样的抽水机？
【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
205100
(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
61590
(台).
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
(10090)(2015)2
(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天？
10020260
(台).
若6天抽完，共需抽水机多少台？
606212
(台).

【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上 的
草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：

205 156



65

10
，原有
草量为：

2010

5150
；10天吃完需要牛的头数是 ：
15010105
(头)．
【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不 仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草
可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天， 那么可供多少头牛吃12天
？

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少
(254166)(64)2
；
原来牧场有草
(252)4108
，
12天吃完需要牛的头数是：< br>1081227
(头)或
(108122)127
（头）。

【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可 供20头牛吃5
天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
【解析】 设1头 牛1天的吃草量为“1”，
651
天自然减少的草量为
2051664< br>，原有草量为：

204

5120
．
若有 11头牛来吃草，每天草减少
11415
；所以可供11头牛吃
120158
(天)．

【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速 度在减少。如果某块草地上的草
可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少 天
？

【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少
(254166)(64)2

原来牧场有草
(252)4108

可供10头牛吃的天数是：
108(102)9
(天)。

【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天 吃草量等
于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊
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吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为

1 6202012



2012

10
，原有
草量为：

1610

20120
．
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去
吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要
120158
天可以把原有草量吃完，即这块草 地可供
10头牛和75只羊一起吃8天．

【巩固】 （希望杯六年级二试试题）
有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那 么14
头牛30天吃了
144301680
单位草量，而70只羊16天吃了< br>16701120
单位草量，所以草
场在每天内增加了
(1680112 0)(3016)40
草量，原来的草量为
11204016480
草量 ，所
以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过
480(8840)1 0
天，可将草吃完。

【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可 供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。
如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头 牛与88只羊一起吃可以吃几天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，
60
只羊的吃草量等于
15
头牛的吃草量，
88
只羊的吃草量等于
22< br>头牛的吃草量，所以草的生长速度为
(15242012)(2412)10
，原有草量为
(2010)12120
，12头牛与88只羊一起吃可以吃
1 20(122210)5
（天）

【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长 速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100
只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l 头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可
以吃多少天?
【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量
100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量
从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与4 8只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有
草，90只需9 天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

【例 6】 有一牧场，17头牛30天 可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖
掉了4头牛，余下的牛再吃两天 便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”， 那么每天生长的草量为

17301924



3 024

9
，原有草
量为：

179
30240
．
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃 完，如果不卖掉这4头牛，
那么原有草量需增加
428
才能恰好供这些牛吃8天， 所以这些牛的头数为

2408

8940
(头)．

【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天， 又增加了2头牛
一起吃，还可以再吃几天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么 每天生长的草量为

440530



4030

1
，原有草量
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为：

51

30120
．如 果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，
此时原有草量还剩
1 209030
，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草
量1，那 么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：
30

61

6
(天)．

【例 7】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽 ；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；
如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量 的和等于马每天的吃草量．现在
让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：
15天马和牛吃草量

原有草量
15
天新生长草量……⑴
20天马和羊吃草量

原有草量
20
天新生长草量……⑵
30天牛和羊(等于马)吃草量

原有草量
30
天新生长草量……⑶ < br>由
(1)2(3)
可得：30天牛吃草量

原有草量，所以：牛每 天吃草量

原有草量
30
；
由⑶可知，30天羊吃草量
30
天新生长草量，所以：羊每天吃草量

每天新生长草量；设马每天
吃的 草为
3
份
将上述结果带入⑵得：原有草量
60
，所以牛每天吃草量
2
．
这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：
60

23

12
(天)．

【巩固】 现在有 牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，
于是牛、羊吃需 要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，
需多少时间?
【解析】 牛、马45天吃了 原有
45
天新长的草①

牛、马90天吃了2原有
90
天新长的草⑤
马、羊60天吃了 原有
60
天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有
90
天新长的草③







马 90天吃了 原有
90
天新长的草④
所以，由④、⑤知，牛吃 了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长
的草，所以，可以将羊视为专门 吃新长的草．
所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.
11
)36
天.
9060
所以，牛、羊、马一起吃，需36天．
所需时间为
1(
板块二、多块地的“牛吃草问题”
【例 8】 东升牧场南面一块 2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18
头牛吃16天，或者供2 7头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少
头牛吃6天？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上
1688
天生长的草量为
181627872
，即每天生长的草量为
7289< br>．那么2000平方米的牧场上原有草量为：

189

161 44
．
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则6000平方米的牧场每天生长的草量为
9< br>
60002000

27
；原有草量为：
144
60002000

432
．6天里，该牧场共提供牧草
432276594
，可以让
594699
(头)
牛吃6天．

【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12 天能吃完甲草地
上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草 ？
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成 面积相等
的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每 块
上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天
也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为

1012204



124

5
，乙草地原有草
量为：
205

460
；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为
5420
，原有草量为：
604240
．要10天同时吃完两块草地上的草 ，需要
240102044
(头)牛．

【巩固】 有一块1200 平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，
或可供15头牛吃10天 ，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一
块牧场相同，问这片牧场可供75 头牛吃多少天？
【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量
15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，
即1天生长草量＝50÷10＝5；
那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；
原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天 生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃
完，即它可供75头牛吃5天。

【例 9】 一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一 样密，而且长
得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公 顷
的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃
几天？
【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决．
把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；
把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天．
那么1公顷牧场每天新生 长的草量为

21545



155

1
，1公顷牧场原有草量为

41

515
．那么6公顷牧场每天新生长的草量为
166
，原有草量为
15690．
8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要
90245
(天)可将原有草吃完，即
它可供8头牛吃45天．
(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来．
设1头 牛1天吃草量为“1”．将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧
场可供48 头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可
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供24头牛吃15天．所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：
2415485



155

12
，12
公顷牧场原有草量为

4812

5180
．那么12公顷牧场可供16头牛吃
180

1612

45
(天)，

板块三、“牛吃草问题”的变形
【例 10】 一只船发现 漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘
水，8小时淘完. 如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是
(58103)(83)2
，原有水量
(102)324
，
要求2小时淘完，要安排
242214
人淘水

【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完 ；
6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【解析】 设1人 1分钟淘出的水量是“1”，
401624
分钟的进水量为
340616 24
，所以每分钟的
进水量为
24241
，那么原有水量为：

31

4080
．5人淘水需要
80

5 1

20
(分钟)把
水淘完．

【例 11】 假设 地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；
或供90 亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
【解析】
(9021011090)(21090)75
亿人。

【例 12】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如
果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一
个观众 到达的时间。
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入
33090
。
8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入
51575
，15分钟到来的人数
907515
， 每分钟到
来
15151
。8：30以前原有人
33013060
。 所以应排了
60160
（分钟），即第一个
来人在7：30

➢ 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多 ，如果开3
个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个 观众到
达的时间．
➢ 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分 钟来的观众为“草的增长速度”，
那么本题就是一个“牛吃草”问题．
 设每一个入场口每 分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为
39552
，即1分钟来的
人为< br>240.5
，原有的人为：

30.5

922. 5
．这些人来到画展，所用时间为
22.50.545
(分)．所以第一个观众到 达的时间为8点15分．
 点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题 目中每分钟来的观
众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成 “牛
吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．

➢ 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来 进口处准备进
站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可 以放完旅客．现
要求5分钟放完，需设立几个检票口?
➢ 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
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 1分钟新来多少个单位的旅客
1

2
 检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，

(41587)(157)
11
×15=52
22
 5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
 4×１５－
11
+×5=55
22
 设立几个检票口

55511
(个)
 52

➢ 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向 上迈一级台阶，
那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达 地面．从站台
到地面有 级台阶．
➢ 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
 “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自 动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈
一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两 级台阶，那么走过15秒到达地
面．问：从站台到地面有多少级台阶？”
 采用牛吃草问题的方法，电梯
20155
秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：
。
21512010
阶，电梯的速度为
1052
阶秒，扶梯长度为
20(12)60
（阶）

➢ 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方 向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结
果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100 秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？
➢ 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总 数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的
增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部 分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。
 自动扶梯的速度

（女孩每 秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时
间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）< br>(23003100)(300100)1.5
，自动扶梯的
梯级总数＝ 女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间

23001. 5300600450150
（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。

➢ 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒
向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯< br>共有多少级？
 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：
(50160 32)(6050)1
。自动扶梯的梯
级总数：
50(11)100< br>(级)

➢ 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行 车，每小时行15千米，3
小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车 ，每小时行45千米，
分钟能追上。
➢ 本题是“牛吃草”和行程问题中的 追及问题的结合．小明在
312
小时内走了
15335110
千 米，
那么小明的速度为
1025
(千米时)，追及距离为

15 5

330
(千米)．汽车去追的话需要：
30

455


3
(小时)
45
(分钟)．
4

➢ 快、中、慢三车同时从
A
地出发沿同一公路开往
B
地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别
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用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分 钟行600米，中速车的
速度是多少？
➢ 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草 量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人
速度是：
(600148007)( 147)400
(米分)，开始相差的路程为：
(600400)142800（米），
所以中速车速度为：
28008400750
(米／分)．

➢ 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上 乙车；如果
甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶 乙车，
问：几个小时后甲车追上乙车？
➢ 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”．
 设甲车的速度为“1”，那么乙车
532
小时走的路程为
253 31
，所以乙的速度为
120.5
，追及路程为：

20 .5

57.5
．
 如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：< br>7.5

10.5

15
(小时)．

➢ 甲、乙、丙三车同时从
A
地出发到
B
地去．甲、乙两车的速度分 别是每小时60千米和每小时48千米．有
一辆卡车同时从
B
地迎面开来，分别在它们 出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，
求丙车的速度．
➢ 相遇问题可以 看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。
所以卡车速度为：
(606487)(76)24
（千米时），全程：
(6024)6 504
（千米），丙车
速度为：
50482439
（千米时）

➢ 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟2 0米和每分
钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8 分钟先后
与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．
 当小新和风间相遇时，正南落后小新
6

2016

24
(米)，依题意知正南和风间走 这24 米需要
761
(分钟)，正南和风间的速度和为：
24124
(米／分)，风间的速度为：
24168
(米／
分)，学校到公园的距离为：< br>247168
(米)．所以妮妮的速度为：
1688813
(米／分 )．

➢ 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀 及一个排水阀，则
30
分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则
10
分钟把水池的水排完．问：关
闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水 池的水？
➢ 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为

1 30210



3010

0.5
， 水池
原有水量为

10.5

3015
．关闭进水阀 并且同时打开三个排水阀，需要
1535
(分钟)才能排完
水池的水．

➢ 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9
个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打< br>开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．
➢ 本题是牛吃草问题的变形．
 设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5
，
半池水的量为：
(95)93 6
，所以一池水的量为72．
 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2
小时，即7小时12
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分钟．

➢ 北京密云水库建有
10
个泄洪 洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度
增加，为了防洪，需要调节泄洪的 速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，
30
个小时以后水位降至安 全线；若同时打开两个泄洪闸，
10
个小时后水位降至安全线．根据抗洪形
势，需要用
2
个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
➢ 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为
(130 210)(3010)0.5
，原有的水量超过安全线的部分有
(10.5)3 015
．
如果要用
2
个小时使水位降至安全线以下，至少需要开
1520.58
个泄洪闸．

【巩固】 (“希望杯”五年级二试)有一个 蓄水池装了
9
根相同的水管，其中一根是进水管，其余
8
根是
出水管 ．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的
水全部排光．如果 同时打开
8
根出水管，则
3
小时可排尽池内的水；如果仅打开
5根出水管，则
需
6
小时才能排尽池内的水．若要在
4.5
小时内 排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水
管？
【解析】 设1根出水管1小时排水的量为 “1”，那么进水管每小时进水量为

5683



63

2
，池
内原有水量为

82
318
．要在
4.5
小时内排尽池内的水，应当同时打开
184. 526
根出水管．

【巩固】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管， 其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀
的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有 人想把出水管也打开，使池内的水
再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排 光；而若仅打开3根出
水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开 几根出水管？
【解析】 设
1
根排水管
1
小时排水为“
1
”，进水速度为
(31883)(183)2
，原有水量为
(8 2)318
，
如果想要在
8
小时内将池中的水全部排光，最少要打开< br>18824.25
根出水管，每根出水管1
小时排水1份，又出水管的根数是整数 ，故最少要打开5根出水管。

【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减 少，为了保证水库的水量，政府决定从上游
的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这 两个水库的每个闸门放水量是相
同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量 达到原来的标准，如果
同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果 24小时使官
厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?
【解析】 设 1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：

404305


4030

1
，
实际注入水量为：

51

30120
；24小时蓄水需要打开的闸门数是：< br>1202416
(个)．

【巩固】 （“陈省身杯”国际青少年五年 级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不
断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划 调来
8
台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实
际调来了
9
台 抽水机，这样比原计划节省了
8
小时。工程师们测算出，如果最初调来
10
台 抽水机，
将会比原计划节省
12
小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没 有水，还应该至少
留下 台抽水机。
【解析】 设每台抽水机每小时抽
1
个单位的水，原计划需要
t
小时抽完
则原计划
8
个小时抽的水量为
8t
，
9
台抽水机时抽水量为
9(t8)

10
台抽水机时抽水量为
10(t12)

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所以，
8
个小时的出水量为
8t9(t8) 72t
，
12
个小时的出水量为
8t10(t12)1202t
，
而泉水的出水速度是一定的，所以
1202t1.5(72t)
，解得
t2 4
，
所以每小时出水量为
(7224)86
，所以需要留下
6
台抽水机。

【例 13】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲 仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小
时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个 工人，3小时可将仓库内面粉搬完；
丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完， 同时还要多少个工人？(每
个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机 与工人一起往外
搬运面粉)
【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为

28312 5



53

12
，每个仓库存放的面粉 总量为：

1212

5120
．那么,丙仓库现有
2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要
120212236
(人 )．

【例 14】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一 个桶距水缸有1米，小
方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三 个桶距水缸
有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也
不变）
【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了
241 35
米路，所以从杯中流出的速
度是
150.2
（杯米），于是1桶 水原有水量等于
330.22.4
杯水，所以小方要
2.4(130.2 )6
次才能把第三个桶装满。
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