龙虎山旅游-感恩节的习俗

第14讲 牛吃草问题


英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的“牛吃草” 问题。又
叫“牛顿问题”。什么是牛顿问题呢? 看完今天所讲的内容，你就知道了。
例1 牧场上有一片青草，每天牧草都均匀生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或
者可供15头牛吃10天 。问：可供25头牛吃几天？
分析：由题意可知，牧场上原有的青草量是一定的，每头牛每天的食草量 也是一定的，
但是新草的总量却是随着时间变化着的。新长的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片
草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。10头牛20天吃草量是由原
有 草量和20天新长的草量两部分组成，而15头牛10天的吃草量是由原有草量和10天新长
的草量两部 分组成。因此要解决问题必须设法计算出原有草量和每天新长的草量。知道这两
个量后就可以求25头牛 吃几天了。
解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么
10头牛20天吃草量=原有草量＋20天新长的草量=10×20=200（份）
15头牛10天吃草量=原有草量+10天新长的草量=15×10=150（份）
从上面两式可以看出：10天新长的草量是200－150=50（份）。
此每天新长的草50÷10=5 （份）
则原有草：200－5×20=100（份） 因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，先让25头牛中的5头吃每天长出来的5份
青草，这样每 天长的青草每天都被吃光，这时我们只要考虑原有的草被剩下的20头牛多少
天吃光就可以了。
100÷（25－5）=5（天）
答：这片草地可供25头牛吃5天。
说明：解题时要注意：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差 及吃的天数的差
计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新 长出的草，由剩下的牛
吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。也可以像上面那样计算。 < br>（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长的草，把变转化为不变使题简单。其余的牛
吃原有的草 ，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
例2 有一水池，池底有泉水不断的涌出。要想把池水抽干 ，10台抽水机需抽8小时，
8台抽水机需抽12小时。如果用6台抽水机需抽几小时？
分析 ：从表面上看没有“牛吃草”，但题的实质就是牛吃草问题。水池的原有水量一定，
即原有草量一定；泉 水不断地以匀速涌出，就相当于新长的草；抽水机抽水就相当于牛吃草。
所以可以用例1的方法解答。
解答：设抽水机每小时抽水1份，那么：
10台抽水机8小时抽水80份=池中原有水量＋8小时的泉水涌入量
8台抽水机12小时抽水96份=池中原有水量＋12小时的泉水涌入量
泉水（12－8）=4小时的涌入量为96－80=16份。
所以每小时泉水涌入量为：16÷4=4（份）
池中原有水：80－4×8=48（份） < /p>

现用6台抽水机抽水，因为每小时涌入泉水4份，所以有4台抽水机专门负责抽涌入的新水，剩下的2台抽水机抽池中的48份原有水。需用：
48÷2=24（时）
答：用6台抽水机需抽24小时。
例3 由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不长，反而以 固定的速度在减少。已知某
块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供 11头牛吃几天？
分析：通过读题发现与例1不同的是：草不是在匀速的生长而是在匀速的减少，但是 思
考方法与例1相同。只不过这时草地上原有的草量等于牛吃的草量与自然减少的草量之和。
解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么
20头牛5天吃草量=原有草量－5天减少的草量=20×5=100（份）
16头牛6天吃草量=原有草量－6天减少的草量=16×6=96（份）
从上面两式可以看出：1天减少的草量是100－96=4（份）。
即每天草地上原有的草自然减少4份。
则原有草：100＋5×4=120（份）
因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，把每天自然减少的4份草量看成有4头牛在
吃，再加上原有的 11头牛，每天实际减少的草量相当于有11＋4=15头牛吃草。所以可供
120÷（11＋4）=8（天）
答：这片草地可供11头牛吃8天。
说明：从前 面3道例题可以看出解决牛吃草问题的关键就是通过假设每头牛每天吃草量
为1份来确定原有草量、每天 生长的草量（或减少的草量）。然后让一些牛专门负责每天变
化的草量，使问题变成“一些牛几天吃完原 有的固定草量”，从而简化问题。
例4 一片草地，每天牧草都匀速生长，如果9头牛吃，12天吃 完所有的草；如果8
头牛吃，16天吃完所有的草。现在，开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头 牛，再
用6天吃完所有的草。问增加了多少头牛？
分析：这道题在基本的“牛吃草”问题的基 础上加了一小点变化。但解题方法类似，确
定原有草量与每天新生长草量的方法相同，只是后边需要一些 小的技巧。
解答：设1头牛1天吃草量为1份。则每天新长出来的草量为：
（8×16－9×12）÷（16－12）=5（份）
草地原有草量为：8×16－5×16=48（份）
现在考虑前6天只有4头牛吃草，这4头 牛连每天新长出来的5份草都吃不光，到第7
天时草地上的草的数量没有减少，反而增加了（5－4）× 6=6（份）。
第7天时草地上有草：6+48=54（份）
所以后6天吃的草量为：54+5×6=84（份）
后6天把草吃完的牛的头数是：84÷6=14（头）
因此增加了14－4=10（头）
答：从第7天起增加了10头牛。
例5 有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草 可供15头牛吃20天，或者
供76只羊吃12天，如果一只牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头 牛与64只羊一起
吃草，可以吃多少天？
分析：本题中既有牛又有羊，为了简便通过比较所吃 的总草量来求出每天生长的新草量
和原有的总草量，我们可以先根据已知条件“一头牛的吃草量等于4只 羊的吃草量”，将已
知条件“15头牛吃20天”转化成“60只羊吃20天”，统一以羊的吃草量为标 准，同时把
条件“8头牛与64只羊一起吃”转换成“96只羊一起吃”，这样就可以用前面的解法了。
解答：设每只羊每天吃草量为1份，则每天长出的新草量为：

（15×4×20－76×12）÷（20－12）=36（份）
原有的总草量为：
76×12－36×12=480（份）
8头牛与64只羊的吃 草量相当于96只羊的吃草量，所以从96只羊中选出36只吃掉每
天新长的草，剩下的60只吃草地上 原有的草。则共需：
480÷60=8（天）
答：8头牛与64只羊一起可以吃8天。
说明：此题还可以统一成以牛的吃草量为标准，请你试做！
例6 商场的自动扶梯以均匀的 速度由下而上的行驶着，兄妹俩人从扶梯上楼，兄每
分钟走20级，妹每分钟走15级，结果兄5分钟到 达楼上，妹6分钟到达楼上。问该自动扶
梯共有多少阶？
分析：这个问题是牛吃草问题的另一 种叙述形式，因为上楼的速度可分为两部分：一部
分是兄妹自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。兄 5分钟走了20×5=100（级），妹6
分钟走了15×6=90（级）。妹比兄少走10级也到达了 楼上，但多走了1分钟，说明自动扶
梯1分钟可向上行10级。于是自动扶梯共有
(20＋10)×5=150(级)
解答：自动扶梯每分钟走：
（20×5－15×6）÷（6－5）=10（级）
自动扶梯共有：(20+10)×5=150（级）
答：该自动扶梯共有150级。
说明：“牛吃草”问题的解法都有相似之处，掌握后也比较简单，
但一定要能区分出它的各种 叙述的形式，找到实质内容以解决问题。例6就是一道“牛吃草”
问题的不同叙述形式，但意思相同，所 以解题时读懂题意最关键。

阅读材料
音乐里的数学
人人都爱音乐， 古今中外，皆莫能外。我国古代孔子就把音乐作为“六艺”之一，规定
他的学生都必须掌握。许多数学家 也都很喜欢音乐，大数学家欧拉甚至还发表过一篇用数学
来研究音乐的论文。只是对数学家来说，这论文 太音乐化了，而对音乐家来说又太数学化了。
以致大家都不容易看懂。

1978年， 湖北随州擂鼓墩曾侯乙墓出土了一套共65口编钟，被称为“曾侯乙钟”。这
套埋于地下2400多年的 古代乐器，总重超过5吨，音域达五个8度，其音阶结构与现代C
大调系同一音列，且十二个半音齐备。 用这套编钟可以演奏古今中外各种乐曲，被外国人称
为“世界第八奇迹”。

过去，西 方总认为中国的七声音阶形成晚于希腊，中国的七声音阶是“舶来品”，因为
中国古代音乐主要用五声音 阶（“宫、商、角、徵、羽”，即只有“1、2、3、5、6”五音
而无，“4、7”这两个偏音。）其 实，在《周语》中就记录了十二音的专名：黄钟、大吕、
太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、 南吕、无射、应钟、半黄钟、……。且这些
音可用“三分损益法”求出各音，这比希腊的毕达哥拉斯的同 样的理论早一百多年。这说明
我国七声音阶发明很早。曾侯乙钟则以实物证明了我国古代音乐理论的发展 水平极高，也证
明了我国古代的乐律与西方乐律是互相独立发展起来的。

既是独立发 展起来，那为什么不象独立发展起来的语言文字那样差异极大，而是那样接
近，以致2400年前的中国 乐器可以毫无困难地演奏现代西洋音乐呢？这与乐音的数理特性
有关。

声音由振动产生，振动频率（每秒钟振动的次数）决定音的高低。相差8度的两音（例
如钢琴上的“C 1”与“C2”或唱的“1’与“i”），后者间频是前者的2倍（而波长则是
前者的）。这样的两音最 相似，最和谐，这在古今中外，皆莫能外。

1834年，物理学家规定G1＝440次／秒， 后被定为国际标准音。在西洋首创的键盘乐
器（如钢琴上，一组完整的音包括七个白键五个黑键共12个 高低不同的音，按由低向高顺
序排列为：C、#C、D、#D、E、F、#F、G、#G、A、#A、B 、c、#c、d、…。

在此序列中，任一音的音频都等于它前一音的音频乘以一个常数q。（ 而波长则除以q）
若记“C”的音频为n，则“c”的音频为2n，于是
这就得到各音的音频与 “C”的音频的比值表：




这样的规定极易转调，以任何一个 音作为“1”，都可轻而易举地转调，此即十二平均
律，在我国是明代朱载育首先提出该理论，而在西欧 则首先由巴赫用于实践，而键盘音乐则
是依据十二平均律作成。

我国古代的弦乐计算 弦长则依据“三分损益法”，由上表可知C的5分度音G的音频
约为C的1.5倍，即G的波长约为C的 ，这就是“三法”的数学基础（“损益”即减少
与增加，“1”的波长减其就是“5”的波长，加其就是 “5”的波长）。此时“G”音
的3个波长等于C音的2个波长，这样的两个音也很相似，很和谐。（程 度仅次于8度音）
用这样的办法，找到“G”音后，再用G的音频的1.5倍（波长为）就得“d”音。 “d”
音频的一米就是“D”音。“D”的音频的1.5倍就是“A”音，依次推算，即得12音的音< br>频倍数表：



（相应的波长比为C∶D∶E∶G∶A＝81∶72∶64∶54∶48）

< br>这样的音律演奏起来曲调优雅，但变调性较差，我国的琵琶、笙、笛、箫等多用“三分
损益法”制 造。

注意到二者的差别不大，这一点差别，人耳是很难区别清楚的。由此可知，用中国的乐< br>器演奏西洋音乐时不会遇到很大的困难。

由此可见，华夏文化之渊远流长、博大精深。


练习题
1．牧场上有一片青草，可以共27头牛吃6天，供23头牛 吃9天。如果每天牧草生长
的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？
分析与解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么
27头牛6天吃草量=原有草量＋6天新长的草量=27×6=162（份）
23头牛9天吃草量=原有草量＋9天新长的草量=23×9=207（份）
从上面两式可以看出：3天新长的草量是207－162=45（份）。
因此每天新长的草45÷3=15 （份）
则原有草：207－15×9=72（份） 因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，先让21头牛中的15头吃每天长出来的15
份青草，这 样每天长的青草每天都被吃光，这时我们只要考虑原有的草被剩下的6头牛多少
天吃光就可以了。
72÷（21－15）=12（天）
答：这片草地可供21头牛吃12天。
2．一 个蓄水池，每分钟流入4立方米的水，如果打开5个水龙头，2小时30分就能将
水池水放空，如果打开 8水龙头，1小时30分就能将水池水放空，现在打开13个水龙头，
问要多少时间才能将水放空？
分析与解答：先计算1个水龙头每分钟放出水量。
2小时30分比1小时30分多60分钟，多流入水
4×60=240（立方米）
时间用分钟作单位，1个水龙头每分钟放出水量是
240÷（5×150－8×90）=8（立方米）
8个水龙头1小时30分放出的水量为8 ×8×90立方米，其中90分钟流入的水是4×90
立方米，因此原来水池中存有水
8×8×90－4×90=5400（立方米）
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13 立方米，除去每分钟流入的4立方米，其余
的将放出原存的水，放空原存的5400立方米的水，需要：
5400÷（8×13－4）=54（分钟）
答：打开13个水龙头，放空水池要54分钟。
3．有一池泉水，泉底不断的涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多。如果用8部抽水
机10小 时能把全池水抽干；如果用12台抽水机6小时能把全池水抽干。那么用14部抽水
机多少小时能把全池 泉水抽干？
分析与解答：设抽水机每小时抽水1份，那么：
8台抽水机10小时抽水80份=池中原有水量＋10小时的泉水涌入量

12台抽水机6小时抽水72份=池中原有水量＋6小时的泉水涌入量
泉水4小时的涌入量为80－72=8份。
所以每小时泉水涌入量为：8÷4=2（份）
池中原有水：80－2×10=60（份）
现用14台抽水机抽水，因为每小时涌入泉水2份 ，所以有2台抽水机专门负责抽涌入
的新水，剩下的12台抽水机抽池中的60份原有水。需用：
60÷12=5（时）
答：用14台抽水机需抽5小时可将全池的泉水抽干。
4． 由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某块草
地上的草可供33头牛 吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么
33头牛5天吃草量=原有草量－5天减少的草量=33×5=165（份）
24头牛6天吃草量=原有草量－6天减少的草量=24×6=144（份）
从上面两式可以看出：1天减少的草量是165－144=21（份）
即每天草地上原有的草自然减少21份。
则原有草：165+5×21=270（份）
因为这片草地要供若干头牛吃10天，10天草地上的草将自然减少
21×10=210（份）
只剩下270－210=60（份）要牛来吃10天，所以需要牛：
60÷10=6（头）
答：可以供6头牛吃10天。
5．有一水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小 时可将水抽完，用8台抽
水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？
分析与解答：设抽水机每小时抽水1份，那么：
5台抽水机20小时抽水100份=池中原有水量－20小时出水口的自然排水量
8台抽水机15小时抽水120份=池中原有水量－15小时出水口的自然排水量
所以出水口5小时的自然出水量为：120－100=20（份）
所以每小时出水口的自然排水量为：20÷5=4（份）
池中原有水：100＋4×20=180（份）
现在让出水口自然排光池中的水需
180÷4=45（时）
答：仅靠出水口出水需45小时将水漏完。
6．有三块草 地，面积分别为10公顷，30公顷和72公顷。草地上的草一样厚，而且长
得一样快。如果第一块草地 饲养12头牛，可以维持4周，第二块草地饲养21头牛，可以维
持9周，而第三块草地饲养多少头牛， 恰好可以维持18周？
分析与解答：“牛吃草”问题通常是同一片草地上的草，这里给出三块面积不等 的草地。
为了转化为我们能解决的问题，只需将三块草地的面积统一起来。由于三块地的面积分别为10公顷，30公顷和72公顷，故可以设面积为[10，30，72]=360公顷。于是

360公顷草地可供12×（360÷10）=432(头)牛吃4周

360公顷草地可供21×（360÷30）=252（头）牛吃9周

设一头牛一周吃1份，则草地每周长出的新草为

（252×9－432×4）÷（9－4）=108（份）相当于可供108头牛吃一周。

这360公顷草地原有草（432－108）×4=1296（份）

从而，360公顷的草地可供（1296+108×18）÷18=180（头）牛吃18周。于是，第三
块地供180÷（360÷72）=36（头）牛吃18周。

答：第三块草地饲养36头牛可以维持18周。

7．有一片草地，草每天生长的速度 相同。这片草地可供5头牛吃
40天；或者供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加了2< br>头牛一起吃，这片草地可以再吃几天?
分析与解答：设1头牛1天吃草量为1份。则每天新长出来的草量为：
（5×40－6×30）÷（40－30）=2（份）
草地原有草量为：5×40－2×40=120（份）
现在考虑前30天只有4头牛吃草，这 4头牛中有2头牛吃每天新长出来的2份草，剩
下的2头牛吃草地上原有的草，到第31天时
草地上的草的数量为：
120－2×30=60（份）
后来又增加了2头牛，相当于有4头牛吃这剩下的60份草。所以可以再吃：
60÷4=15（天）
答：增加2头牛后，这片草地可以再吃15天。
8．仓库里 原有一批货，以后还继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车
运货出仓，如果每天用4辆汽 车，9天恰好运完；如果用5辆汽车运，6天恰好运完。仓库
里原有的存货若用一辆车运，多少天可以运 完？
分析与解答：设1辆汽车1天运的货物为1份。
4辆汽车9天运了36份=原有的存货＋9天运进的货物
5辆汽车6天运了30份=原有的存货＋6天运进的货物
因此每天运进货物：（36－30）÷（9－6）=2（份）
仓库中原存货物量为：36－2×9=18（份）
仓库里原有的存货若用一辆车运需：18÷1=18（天）
答：一辆汽车18天可以运完。
9．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。20秒内男孩走了27级，女孩走了24级。
按 此速度男孩子2分钟到达另一端，而女孩子需3分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级？
分析与解答：
男孩子2分钟共走了：27×（60×2÷20）=162（级）
女孩子3分钟共走了：24×（60×3÷20）=216（级）
因此自动扶梯每分钟可走：216－162=54（级）
故自动扶梯共有：27×（60×2÷20）－54×2=54（级）
答：自动扶梯共有54级。
10．某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人 数一样多。从开始检票
到等候检票的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；若同时开5个检票口需 20分钟，
那么同时开7个检票口需多少分钟？为了使15分钟内检票的队伍消失，需至少开多少检票< br>口？
分析与解答：设检票口1分钟检票人数为1份，则每分钟新来旅客：
（4×30－5×20）÷（30－20）=2（份）
原有旅客为：

（4－2）×30=60（份）
于是同时开7个检票窗口需：
60÷(7－2)=12（分）
为了使检票队伍在15分钟内消失，需至少开：
60÷15＋2=6（个）
答：同时开7个检票口需12分钟，至少开6个检票口才能保证队伍在15分钟内消失。