用数形结合法巧解“牛吃草”问题

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2021年01月12日 11:05
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2021年1月12日发(作者:伍霖生)


用数形结合法巧解“牛吃草”问题

[摘 要]数形结合既是一个重 要的数学思想,又是一种
常用的教学方法,在教学中渗透数形结合的思想,可以把抽
象的数学概 念直观化,可以使算式形象化,可以将复杂问题
简单化。教学“牛吃草”问题中,教师只要恰当运用数形 结
合法,就可以把这类问题化难为易。

[关键词]数形结合;牛吃草问题;化难为易
[中图分类号] G623.5 [文?I标识码] A [文章编号]
1007-9068(2017)08-0081-01
例题1:一片草地每天都在均匀地生长青草,如果供15
头牛吃,可以吃8周;如果供16 头牛吃,可以吃6周。那
么现在要供18头牛吃,可以吃几周?(假设每头牛每周的
吃草量相同 )
做这类题目,一般要按照以下四个步骤进行解答。
第一步:求出这片草地每周的长草量。
先把每头牛每周的吃草量具体化,设1头牛1周吃的草< br>为1份,则15头牛1周吃的草为15份,15头牛8周吃的草
为15×8=120(份);16 头牛1周吃的草为16份,16头牛6
周吃的草为16×6=96(份)。可以做出如下线段示意图(如
图1)。


120份可以看作是草地上原有的草与8周内新长出来的草;96份可以看作是草地上原有的草与6周内新长出来的草,
通过图1学生很容易理解每周的长草 量是(120-96)÷(8-6)
=12(份)。这时,教师可以引导学生思考:“如果草地上的草每天都在均匀地生长,1头牛不停地吃下去,会不会有一
天草地上无草可吃了呢?如果是10头牛 、12头牛的情况又
会怎样?13头牛呢?”此处也可以用入不敷出、积少成多举
例说明,加深 学生对每周的长草量的理解。
第二步:求出这片草地的原有草量。
再看线段示 意图(如图2)。120份减去8周内新长的草
就是原有的草,即120-8×12=24(份),或者 用96减去6周
内新长的草也是原有的草,即96-12×6=24(份)。
第三步:求出每周实际消耗的原有草量。
对于这个问题,很多书上都是把牛分成两部分,让其中
12头吃新长出的草,其余的牛吃原有的草来研究的,多数学
生对这种方法在理解上有局限性, 甚至有学生提出“让12
头牛吃新长出的草,它不吃怎么办?”的问题。这时,教师
可以换一种 方式引导:18头牛1周吃的草是18份,而1周
内新长的草是12份,那么新长的草够不够18头牛吃 1周?
如果新长的草不够吃,这些牛就要吃草地上原有的草,那草
地上原有的草1周减少了多少 份?列出算式就是18-12=6
(份)。


第四步:求出牛可吃的周数。
这片草地原有的草为24份,每周减少6份,则可以吃
24÷6=4(周)。
下面我们 再来看看“牛吃草”问题在现实生活中的广泛
应用。下列题目都是“牛吃草”问题的变式,解法也基本一
样,所以就不再详解,略作说明即可。
例题2:一个水池装有一个进水管和三个同样的 出水管。
先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果
同时打开两个出水管,那么 8分钟后水池排空;如果同时打
开三个出水管,那么4分钟后水池排空。问出水管比进水管
晚开 多少分钟?
这道题虽然表面上没有“牛吃草”,但因为总的水量在
均匀变化,“水”相 当于“草”,进水管进的水相当于“新长
出的草”,出水管排的水相当于“牛在吃草”,所以也是“牛< br>吃草”问题。
例题3:某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟
来的旅客人 数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,
同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20 分钟,
如果同时开7个检票口,则需多少分钟?
这道题中,等候检票的旅客人数在变化 ,“旅客”相当
于“草”,“检票口”相当于“牛”,每分钟来的旅客人数相
当于“新长出的草 ”,开始检票前到的人数相当于“原有的


草”,因此该题也可以用“牛吃草”问题的解法 来解。
类似这些生活中常常遇到的水管排水、检票口检票、超
市排队付款、水库泄洪、 小船漏水淘水等问题,虽然从字面
上看不一样,但问题的实质都是一样的,都属于“牛吃草”
问 题,都可以采用数形结合的方法解题。
综上所述,这种先画线段图,再利用数形之间的关系解< br>答“牛吃草”问题的方法,有利于教师的教,有利于学生的
学。学生在解疑答难的过程中,知识建 构得既生动又深刻,
不仅体会到了数学之美,还感受到了数形结合的魅力。对教
师来说,教得轻 松,教得自然,渗透着教师高超的教学智慧。
教师要灵活运用数形结合思想,让数形结合思想走进学生的
心灵,使绝大多数学生望而却步的“牛吃草”问题不再成为
“问题”。
(责编 李琪琦)

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