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牛吃草教案

教学目的：让学生了解什么是牛吃草问题以及其特点；
掌握牛吃草问题涉及的关键的量以及求解方法；
熟练运用牛吃草的方法，解决牛吃草的一些变形问题。
主要知识点：
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份， 根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即
可确定草的生长 速度和总草量。
关键问题：确定两个不变的量（1、原有总草量；2、草的生长速度）。
基本公式：
①生长量=（较长时间×长时间牛头数- 较短时间×短时间牛头数）÷
（长时间-短时间）；
②总草量=较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量
③吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
④牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例题引导：
目的：引导学生自己归纳总结出来牛吃草的特点：
引例1：有一堆干草：10头牛吃15天，问如果是25头牛，可以吃几
天？（6天）

计算很简单，主要引导同学们知道把牛每天吃草量设为单位“1”。
在计算下两种情况下，总草量是否一样？（完全一样为：150）
引例2：一片青草 地，牧草每天都在匀速生长，18头牛吃16天，但
是，27头牛吃8天，让学生算算原有草量是多少？
（老师给出算法：也是设一头牛一天吃单位1的草量）
情况1: 18*16=288，
情况2： 27*8=216
（提问：为什么不一样） < br>引导学生分析出来，草每天还要均匀生产，时间长，草就长的多，
影响了牛吃的总草量，并分析出 来牛吃的总草量由什么组成（可
以与引例1想比较说明这点）。
即：牛吃的总草量=原有总草量+草的生长总量
草的总生长量=草的生长速度*天数
让学生求：原有总草量和草的生长速度
方法：设1头牛一天吃的草为1份，那么18头牛16 天吃的就是
18*16=288份，是原有的草和16天新长出来的草；27头牛8天
吃的就是 27*8=216份，是原有的草和8天新长出来的草。
由于原有的草量不变，所以相差的288－2 16=72份草，是16－
8=8天所长出来的，即每天长72÷8=9份（草的生长速度）。也
就是说，每天要有9头牛专吃新长出来的草，总草量才不变，所
以牧场上原有的草有（18－9）×1 6=144份（原有总草量）。
（以上解答，可以画线段图，可以刚好帮助学生理解分析）

追加一问：现在，如果是21头牛可以吃几天？（学生自己解答）
一定强调：生长出来的草可以供牛吃，不是全部的牛吃原因草量，
所有草吃光为止！
讲解，先去掉9头牛吃新长出来的草，剩下的吃原有的草，可以
吃144÷（21－9）=12天。
总结：
这类总量不断变化的问题就是英国大数学家牛顿提出的“牛吃
草”问题，也有 人称之为“牛顿问题”。（所以不是马吃草）
特点：①原草量②新草生长速度是不变的
解题思路说明：
（1）解牛吃草问题，一般是先求出每天新长出来的草量，它是
通过 对比两种不同吃法而得出的；
（2）求出每天新长出来的草量之后，可以让一些牛专吃新长出
来的草，剩下的牛吃原有的草，可根据后一种吃法求出原有的草
量；
（3）在所求的问题中，让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛
吃原有的草，易求出吃的天数。
可以给出公式：
①生长量=（较长时间×长时间牛头数- 较短时间×短时间牛头数）÷
（长时间-短时间）；
②总草量=较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量
③吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

④牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度（可以在出一问说明
或者条件反过来说明）。 巩固：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10
头牛吃20天，或者可供15头牛 吃10天。问：可供25头牛吃几天？

例2：一艘木船发生了漏水事故，水匀速的涌入。3 人淘40分钟可
以把水淘完，5人淘，20分钟可以把水淘完。现在由6人把水淘完，
需要多长 时间？
【分析与解答】
分析：从表面上看，本题中没有牛吃草，但是因为总的水量不断改< br>变，我们把“水”看作“草”，涌入的水就相当于新长出来的草，船
内原来已漏进的水就相当于原 有的草，人淘水就相当于牛吃草，所以
本题的实质也是牛吃草的问题，解法与例1相似。
设1 人1分钟淘的水量为1份，那么3人40分钟淘的水是3×40=120
份，5人20分钟淘的水量是5 ×20=100份，这两次所淘的水量中都
包括原来已经漏进的水量和从开始淘到淘完这段时间内又涌入 的水
量，所以相差的120－100=20份水是40－20=20分钟涌入的，所以每
分钟涌 入的水量为20÷20=1份。显然，1人专淘涌入的水，原有的
水量不变。因此，原有的水量为（3－ 1）×40=80份。
现在，要求6人几分钟把水淘完，先让1人专淘涌入的水，剩下的
人淘 原有的水，可以淘80÷（6－1）=16分钟。

例3：某电影院在检票前 若干分钟就开始排队，每分钟来的观众人
数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票 口需
30分钟，同时开5个检票口需20分钟。现在要使队伍10分钟消失，
那么需要同时开几 个检票口？
【分析与解答】
分析：等待检票的观众人数在变化，“观众”相当于“草”，“ 检票
口”相当于“牛”，所以本题实质上也是一道牛吃草的问题。总的草
量相当于观众总人数， 即开始检票前已经在排队的原有观众和检票开
始后新来的观众。
设1个检票口1分钟检票的观 众人数为1份，那么4个检票口30
分钟通过的人数为4×30=120份，5个检票口20分钟通过的 人数为5
×20=100份，说明在30－20=10分钟内新来的观众人数为120－
100 =20份，所以每分钟新来观众为：
（4×30－5×20）÷（30－20）=2份
显然 ，让2个检票口检新来的观众，等待的队伍人数不变，其余的
检票口检原有的观众，原有观众为：（4－ 2）×30=60份。
现在，要在10分钟内检完票，使观众不再排队等候，应让2个检
票口 专检新来的观众，以使原有人数不变，原有人数从其他检票口
10分钟通过，所以共需要的检票口为：
60÷10＋2=8个。

例4：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶 着，两位性急的孩子要
从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，
结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶
梯共有多少级？
分析：与 例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，
“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”， 也可以看成牛吃草
问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5= 100（级），女
孩6分钟走了15×6= 90（级），女孩比男孩少走了100－90=10（级），
多用了6－5=1（分），说明电梯1分钟 走10级。由男孩5分钟到达
楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20+10）×5=150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）=10（级），
自动扶梯共有（20+10）×5=150（级）。
答：扶梯共有150级。
< br>例5、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的
速度在减少。已知某块草地上 的草可供20头牛吃5天，或可供15头
牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的
草还在减少。但是，我们同样 可以利用例1的方法，求出每天减少的
草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20 头牛5天吃100份，15头牛6
天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青 草10份，
也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛
吃5天”，再 加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原
有草（20+10）×5=150（份）。
由 150÷10=15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去
10头牛，所以，可供5头牛吃10天。
练习与巩固
1.一牧场 上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供30头牛吃
5周，问可供42头牛吃几周？
2.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15
部同样的抽 水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可
以把水抽干？
3.某车 站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时
开放3个检票口，那么40分钟 检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检
票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检 票口，那么队伍多少分
钟恰好消失？

4.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走 。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，
女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走 了3分钟到达另
一端。问：该扶梯共多少级？

5.由于天气逐渐变冷，牧草上的草 每天以均匀的速度在减少，经计算，牧场上的
草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么，可 供11头牛吃几天？