行测-容斥原理与牛吃草问题
乒乓球比赛-初中班主任工作案例
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容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两
种
原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。
一、容斥原理
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重
叠
的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数
目
排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个
集合的元素个数相加，发现既是
A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：
公式：A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-
重合部分的
【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人
语、
数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
数学得满分人数→A，
语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一
门得满分人数→A∪B。A∪B=1
5+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现
两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
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如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算
了1
次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B
∩C)-(B∩
C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B
∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队
，其中参加足球队的有25人，参加
排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有
12人，足球、游泳都参
加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、
游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加
的有
A∩B∩C=A∪B∪C-A-
B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏图解题
文氏图又称韦恩图，能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集
合间的
逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述3个集合的情况。
【例3】某班有50
位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15 人，数学不及格的
有19
人，英文和数学都及格的有21 人。那么英文和数学都不及格的有( )人。
A.4 B.5
C.13 D.17
解析：如图所示，按英文及格、数学及格画2个圆圈，根据题干条件确定它们重叠。
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二、抽屉原理
能利用抽屉原理来解决的
问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中，考查抽屉原理问
题时，题干通常有“至少„„，才能保证„
„”字样。
抽屉原理1
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽
屉中的物品件数不少于2。
(至少有2件物品在同一个抽屉)
抽屉原理2
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少
于m+1。(至少
有m+1件物品在同一个抽屉)
下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。
【例1】将5件物品放到3个抽屉里，要想保证任一个抽屉的物品最少，只能每个抽屉
放一
件，有5件物品，放了3件，还剩5-3×1=2件，这两件只能分别放入两个抽屉中，这
样物品最多的
抽屉中也只有2件物品中公.教育版权。
即当物品数比抽屉数多时，不管怎么放，总有一个抽屉至少有2件物品。
【例2】将10件物品放到3个抽屉里呢?将22件物品放到5个抽屉里呢?
同样，按照前面的思路，要想保证任一个抽屉的物品数都最少，那么只能先平均放。
10÷3=3
„„1，则先每个抽屉放3件，还剩余10-3×3=1件，随便放入一个抽屉中，则
这个抽屉中的物品
数为3+1=4件。
4
22÷5=4„„2，则
先每个抽屉放4件，还剩余22-4×5=2件，分别放入两个抽屉中，则
这两个抽屉中的物品数为4+
1=5件。
即如果物体数大于抽屉数的m倍，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1。
1.利用抽屉原理解题
一般来说，求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理，其解题流程如下：
(1)找出题干中物品对应的量;
(2)合理构造抽屉(简单问题中抽屉明显，找出即可);
(3)利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
【例题1】外国讲星座，中国传统讲属相。请问在任意的37个中国人中至少有几个人
的属相相同?
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：
属相有12种，看成12个抽屉，则至少有一个抽屉有不少于
=4个人，
即至少有4个人属相相同，选B。
2.考虑最差(最不利)情况
抽屉问题所求多为极端情况，即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉，要有(取)
多少件物品，才
能保证至少有一个抽屉中有m个物体”，即求物品总数时，考虑最差情况这
一方法的使用非常有效。具体
思路如下：
最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品，因此只能将物品均匀放入n<
br>个抽屉中。当物品总数=n×(m-1)时，每个抽屉中均有m-1个物品，此时再多1个，即可保
证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n×(m-1)+1。
【例题2】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色
相同?
A.21 B.22 C.23 D.24
解析：此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王;红桃、方块、黑桃、梅花各
13张。
至少抽出多少张牌→求取物品的件数，考虑最差情况中公.教育版权。
要求6张牌的
花色相同，最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张，再加上大王、
小王，此时共取出了4×5+
2=22张，此时若再取一张，则一定有一种花色的牌有6张。即至
少取出23张牌，才能保证至少6张
牌的花色相同。
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牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）
÷（吃的较多天
数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题
的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为，解题
关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每
日新长草的数量，再求出草地里原有草
的数量，进而解答题总所求的问题。
例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样
一片牧场，牛
23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 摘录条件：
27头
6天 原有草+6天生长草 23头 9天 原有草+9天生长草 21头
？天 原有草+？
天生长草
小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧
场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为，
由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×
6=45。为什么会多出这45呢？这是第
二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天
生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足1
5头牛吃。由此，我们可
以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另
一组来吃是
原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？
（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
初中解
答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。
那么可以列
方程： x+6y=27×6 x+9y=23×9
解得x=72,y=15
若放21头牛，设n天可以吃完，则：
72+15n=21n n=12
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例2
一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水
机连续15天可抽
干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 摘录条件：
5台 20天
原有水+20天入库量 6台 15天 原有水+15天入库量 ？台 6天
原有水
+6天入库量
小学解答：设1台1天抽水量为，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
每
天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12
（台）
初中解答：假设原来有的水为x份，每天流进来的水为y份，每台机器抽出的水是1个单
位。
那么可以列方程： x+20y=20×5 x+15y=6×15
解得x=60,y=2
若要6天抽完，设n台机器可以抽完，则： 60+6×2=6 n
n=12
希望本篇对大伙有用，也忠心希望各位能如愿以偿的走上工作岗位！