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第三十九周 “牛吃草”问题


专题简析：
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛
吃几天？”这题 很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草
地”，问题就不那么简 单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不
固定（均匀变化）的问题就是“牛吃 草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有
的草及每 天长出的草，问题就容易解决了。

例1：
一片青草地，每天都匀速长出青草，这 片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那
么这片草地可供21头牛吃几周？
这片草地 上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数
量。因为总草量可以分成两部 分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意
到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的 草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=16 2（份），此时
新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有 的草也均被
吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的 数
量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）
=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相 当于
可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）
练习1
1、 一片草地，每天都匀速长出青草， 如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，
那么可供19头牛吃几天？
2、 牧场上一片 草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者
可供15头牛吃10天，问可供25 头牛吃几天？
3、 牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9< br>周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

例2：
由于天气逐渐冷起来，牧 场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地
上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛 吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还 在减少，但是，我们同样可以
利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设 1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10
（份 ），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量
相当于10头牛在吃 草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天
减少的草量相当于10头牛同时在吃 草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），由
150÷10=15知道，牧场原有的草可 供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛
吃的草，所以可供5头牛吃10天。
练习2：

1、 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天 以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草
可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么，可供11 头牛吃几天？
2、 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供33头
牛吃5天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
3、 经测算 ，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假
设地球新生成的资源增 长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球
最多能养活多少亿人？

例3：
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟
走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达
楼 上。问：该扶梯共有多少级台阶？
与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草” 变成了“台阶”，“牛”
变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两 部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速
度。男孩5分钟走了20×5=100（ 级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了
100—90=10（级），多用了6 —5=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼
上，他上楼的速度是自己的速度与扶 梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级）
练习3：
1、自动扶梯 以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台
阶，小红 每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯
共有多少级台阶？ < br>2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女
孩可走2 4级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有
多少级台阶？
3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬
行的速度是不同 的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛
滑行的速度却是相同的。结 果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用了6
个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

例题4：
一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些 水。如果用
12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完 ，
需要多少人？
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是 36人用1
小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就 是
50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）
练习4：

1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干 ，用15部相
同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，
如果每小 时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水
箱可少用2.5小时 。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？
3、有一水井，连续不段涌 出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，
36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机， 20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽
水机多少台？
例题5：
有三块 草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一
块草荐地可供11头牛 吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头
牛吃多少天？
前几天 我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为
了解决这个问题，只需将 三块草地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120
这样，第一块5公顷可供11头牛吃 10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264
（头）牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）< br>牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛
齿及天？即
每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
练习5：
1、某车站在检票前若干分钟就开 始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到
等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟 ，同时开5个检票口需20分钟。如果同
时打开7个检票口，那么需多少分钟？
2、快、中、 慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是
嵋小时24千米、20千米、1 9千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10
小时，慢车追上自行车用多少小时？ < br>3、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃
24天 。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多
少头？
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