牛顿问题练习题
孩子为什么厌学-大年初一日记
牛顿问题
牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国
著名的物理学
家牛顿曾编过这样一道数学题：
牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片
青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者
供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以
吃多少天？
1
解题关键
牛顿问题，称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量(
牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量)；
4、最后求出牛可吃的天数。
想：这片
草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10
天吃的总量相比较，
得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，
便知是
5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来
研究，用其中一
部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。
设一头牛1天吃的草为一份。
那么10头牛22天吃草为1×10×22=220(份)，1
6头牛10天吃草为1×16×10=160(份)
（220-160）÷（22-10）=5(份)，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110（份)，说明原有老草110份。
综合式：110÷（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。
如果想求出有多少牛
，那么题目一定会告诉你原来的草量，方法就和求草一样。你可以先写
出求草的算式，再带入数字。
2
题目解法
牛顿问题的解法是这样的：在牧草不生产的条件下
，如果12头公牛在四星期内吃掉三又三
分之一由格尔（当时牛顿想出问题并解出答案的地方）的牧草，
则按比例36头公牛四星期内，
或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草
，由于牧草在生长，所以
21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的
草地上新长的牧草
足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够52头公牛吃18个星期，由此推得，1
4个星期（即18
个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=
52：7。前已
算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供8头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长
，故应加
上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比
例可算出。24由格
尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。
牛顿还给出代数解法：他
设格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为y由格尔的草
地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的
面积是相等的。根据题意，设若所求的公牛头数为x，
就为（103+103*4y）(12*4)=
(10+10*9y)(21*9)=(24+24*18y)18x
解得x=36
即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。
还有一种方法就是使用方程式的解法。
例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛能够2天吃完？
我们做
方程式：设牧场原有草量为y，每天新增加的牧草可供x头牛食用，N头牛能够2天
将草吃完，根据题目
条件，我们列出方程式：
y=(9-x）×3
y=(5-x) ×6
y=(N-x) ×2
解方程组得x=1 y=24 N=13
其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-
单位时间长草量可供应的牛的数量）
×天数
另一解法：
牛吃草问题的关键点在于这
个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天
的吃草速率和吃草量都不相同，那么此题
无解，为什么？因为很可能一头牛心情好一天就能吃完
这些草，也可能10头牛食欲不佳一个月吃都不完
这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必
须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件
。
得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定？不难想到，可以是
吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是我们就可以假设一头牛一天的吃草
量为1个
单位，并假设第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻找平衡方程，我们可以看到，
在问题提供的条
件中，第一种情况的草的总量为10×22，第二种情况的草的总量为16×10，第三
种情况的草的总
量为25×N。
然后我们开始寻找方程的平衡：既然我们现在已经找到三种情况里草地的总量，那么不
难想
到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，我们假设原有草量为Y，草每天的生长量为X，<
br>得到如下方程组：
10×22=22X+Y
16×10=10X+Y
25×N=NX+Y
解此方程组，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25头牛用五天半的时间就能吃完这些草。
3
规律总结
牛顿问题的难点在于草每天都在不
断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是
想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量
看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。
显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，
但如果是匀速生长，我们也能找到另一
个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
基本思
路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；
再找出造成这种
差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
牛吃草问题常用到四个基本公式：
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草
问题
的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，
求若干头牛吃
这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量
随着吃的天数不断地变
化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
（1）草的生长速度=
（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）
÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化
中找
到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天
新长出的草量
应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
两只蜗牛由于耐不住阳光的照
射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度
是不同的，一只每个白天爬20分米，另一
只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却
是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底
，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，
井深多少米？
分析：一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬； 20×5=100（分米）；
另一只蜗牛恰
好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．
黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是
相同的．说明，每夜下滑：100-90=10（分米）． 那
么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15
（米），或：（15+10）×6=150（
分米）=15（米）．
解答：解：（20×5-15×6+20）×5，
=30×5，
=150（米）．
答：井深150米．
点评：此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力．
4
练习题及答案
（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6
周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，
可供21头牛吃几周？
（２）有一口水
井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在
用水桶吊水，如果每分吊
4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5
分钟吊干，每分钟应吊多少桶水
？
（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派<
br>19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
（４）有一桶酒
，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；
如果由4人喝，5天可
喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连
续20天可抽干；6台同样的抽水机连续
15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ <
br>（6）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，
小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？
（
7）：两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走
20分米，
另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜
到达井底，另一只
却恰好用了6昼夜。问井深是多少？
（8）一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或
让18头牛吃8个星期，那么一块4000
平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？
（9）有
一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12
个人淘水，3小
时可以淘完。如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完，
需要多少人？
（10）有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用4台抽水机，15小时可把井水抽干
。若
用8台抽水机，7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？
（1
1）李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池水
担完。如
果70人担水，10小时可把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？
答案（1）27×6=16223×9=207207-162=4545(9-6)=15每周生长数
162-15×6=72(原有量)72(21-15)=12周
（2）4×15=608×7=5660-56=44(15-7)=0.5(每分钟涌量)
60-15×0、5=52、5（原有水量）52、5+(5×0.5)5=11桶
（3）1
7×30=51019×24=456510-456=5454(30-24)=9每天生长量
510-30×9=240原有草量240+6×9=2942946=49人
（4）6×4=244×5=2024-20=44(5-4)=4每天漏掉数
24+4×4=40原有数
这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天？
（5）5×20=1006×15=90100-90=1010（20-15）=2每天入库数
100-20×2=60原有库存数60+2×6=72726=12台
（6）20×4=8014×5=7080-70=1010（5-4）=10每分钟减少数
80+4×10=120原有数70+5×10=120
（7）20×5=10015*6=90100-90=1010(6-5)=10黒夜下滑数
100+5×10=15015×6+10×6=150
（8）12×16-18×8=192-144=4848(16-8)=6每星期生长数
192-16×6==96原有数96+6×6=1321326=2222×4=88头
（9）12×3=365×10=5050-36=1414(10-3)=2每小时增加数
36-3×2=30原有30+2×2=34342=17人
（10）
4×15=608×7=5660-56=44(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5
+5×0.5=55555=11台
（11）50×20=100070×10=7001000-7
00=300300(20-10)=30每小时增加1000-30×20=400原有
400(130-30)=4小时
1、牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头
牛吃9天，如果每天牧草生长的速
度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？
2、一
只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10个人舀水，3小时可以
舀完；如果5个人
舀水，8小时可以舀水，如果要求2小时舀完，那么要安排多少人舀水？
3、某牧场上的草，若用
17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，
问用多少人割，6天可以割尽
？（草匀速生长，每人每天割草量相同）
4、有一眼泉水，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同
时开机，40分钟可以抽干；用同样
的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽
水机9台，几分钟可以抽干？
5、有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛
吃20天，或者供76只羊
吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊
一起吃，可以吃多少
天？
6、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不
断地往池里防水，平均每分
钟入水量相等，如果同时开放3根排水管，45分钟可以把池中水排完；同时
，开放5根排水管
25分钟把池中水排完，那么，同时开放8根排水管，几分钟排完池中的水？