乘除法的关系和运算律
成功故事-点名问题
乘除法的关系和运算律
一、加法运算律只有：交换律和结合律。没有分配律
1、交换律：两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律
例：a+b=b+a .
扩展：A+B+C=A+C+B=C+B+A
2、结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数
相加,或者
先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。
(A+B)+C=A+（B+C）
二、乘法运算律：交换律、结合律和分配律。乘法才有分配律
乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a
三个
数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,
再和另外一个数相乘，积不变
。
如a×b×c=a×(b×c)a×c+b×c=（a+b）×c
两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积
加起来,和不变。
字母表达是：a×(b+c) =a×b+a×c
扩展：变式一
a×(b-c)
=a×b-a×c
变式二
a×b+a=a×(b+1)
乘法分配律的拓展：
两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相
减。用字母表示为：
1
(a-b)·c=a·c-b·c
a·c-b·c=(a-b)·c
三、乘除法各部分之间的关系：
（1）乘法各部分之间的关系：
因数×因数=积
一个因数=积÷另一个因数
（2）除法各部分之间的关系：
没有余数的除法： 有余数的除法：
被除数=商×除数
被除数=商×除数 + 余数
除数=被除数÷商
除数=（被除数-余数）÷商
商= 被除数÷除数
商= （被除数-余数）÷除数
（3）乘、除法之间的关系：
除法是乘法的逆运算
注意：0不能作除数。
(4)
整除：a÷b(b≠0)＝c 则a能被b整除，b能整除a。
(5) 0乘任何数等于0，0除c
任数（不等于0）等于0
四、减法简便运算：
1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示：a－b－c＝a－(b＋c)
2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示：a－b－c＝a—c－b
五、除法简便运算：
2
1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。
用字母表示：a÷b÷c＝a÷(b×c)
2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b
六、积的变化规律
①
一个因数缩小（扩大）几倍，另一个因数扩大（缩小）相同的倍数，积
不变。
② 一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也随着缩小(或扩大)
几倍。
③ 一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n，积扩大m×n倍；
一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n，积缩小m×n倍；
一个因数扩大（缩小）m倍，另一个因数缩小（扩大）n倍，积扩大或缩
小m÷n倍。
七、解决问题：
1、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
3
2、工程问题
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
3、最多、最少问题
人数最少多买贵的，人数最少多买便宜的。
4、购物、旅游合算问题
先计算后比较。
附：
一、常见乘法计算：
25×4＝100
125×8＝1000
二、加法交换律简算例子：
三、加法结合律简算例子：
50+98+50
488+40+60
＝50+50+98
＝488+（40+60）
＝100+98
＝488+100
＝198
＝588
四、乘法交换律简算例子：
五、乘法结合律简算例子：
25×56×4
99×125×8
＝25×4×56
＝99×（125×8）
＝100×56
＝99×1000
＝5600
＝99000
4
六、含有加法交换律与结合律的简便计算：
65+28+35+72
＝（65+35）+（28+72）
＝100+100
＝200
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：
25×125×4×8
＝（25×4）×（125×8）
＝100×1000
＝100000
八、乘法分配律简算例子：
一、分解式
二、合并式
25×（40+4）
135×12—135×2
＝25×40+25×4
＝135×（12—2）
＝1000+100
＝135×10
＝1100
＝1350
三、特殊1
四、特殊2
99×256+256
45×102
＝99×256+256×1
＝45×（100+2）
＝256×（99+1）
＝45×100+45×2
＝256×100
=4500+90
＝25600
=4590
5
五、特殊3
六、特殊4
99×26
35×8+35×6—4×35
＝（100—1）×26
＝35×（8+6—4）
＝100×26—1×26
＝35×10
＝2600—26
＝350
＝2574
九、 连续减法简便运算例子：
528—65—35 528—89—128
528—（150+128）
=528—（65+35） =528—128—89
=528—128—150
=528—100 =400—89
=400—150
=428 =311
=250
十、 连续除法简便运算例子：
3200÷25÷4
=3200÷（25×4）
=3200÷100
=32
十一、
其它简便运算例子：
256—58+44 250÷8×4
=256+44—58 =250×4÷8
=300—58
=1000÷8
=242 =125
6
【专项训练】
一、积的变化规律练习题
1、先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。
26×48＝1248
17×12＝204
26×24＝（ ） 17×24＝（ ）
26×12＝（
） 17×36＝（ ）
2、一个长方形的面积是256平方厘米，如果长缩小4倍，宽扩大4
倍，这个长
方形就变成了正方形，这个正方形的面积是多少？它的边长是多少？
二、用简便方法计算
⑴ 35+63+27 ⑵
（103-3）×15
⑶ 25×44
⑷ 14×32+69×14
7