宝岛台湾-黄帝的传说

第十章部分课后习题参考答案



4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：
（1） 整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元
（2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭
（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。 （3） 全体
nn
实矩阵集合
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；
加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
（4）全体
nn
实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭
（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为
1111111R


（6）
n
关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（
n1
），零元是0；
n1
单位元是1
（7）A = {
a
1
,a
2
,,a
n
}
n运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律，
（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律
（10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题

1

7．设 * 为
Z

上的二元运算
x,yZ

，
X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

(1)求4 * 6，7 * 3。
4, 3
(2)* 在
Z
上是否适合交换律，结合律，和幂等律？
满足交换律，结合律，和幂等律
(3)求*运算的单位元，零元及
Z

中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．
SQQ

Q
为有理数集，*为S上的二元运算，,S有
< a，b >* =
（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？
不可交换：*=

< a，b >*
可结合：(*)*=*=
*(*)=*=
(*)*=*(*)
不是幂等的
（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。

设是单位元，S ，*= *=
则==，解的=<1,0>，即为单位。

设是零元，S ，*= *=
则==，无解。即无零元。
S，设是它的逆元*= *=<1,0>
==<1,0>
a=1x,b=-yx
所 以当x

0时，
x,y
1

1y
,

xx


10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，

分别有表10.8确定。


2

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？
(a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元；
(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元
a
1
a,b
1
b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

a(bb)aab,

a(bb)(ab)b

没有单位元, 没有零元
(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律
没有单位元, 没有零元
(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上


(ab)baba

16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合
确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S
1
=
（2）S
2
=
是
不是 加法不封闭
（3）S
3
= {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即
y=(xy)mod 4

x,y∈S, x
问〈S，〉是否构成群？为什么？
y=(xy)mod 4
S
,是S上的代数运算。 解：(1)

x,y∈S, x
(2)

x,y,z∈S,设xy=4k+r
0r3

(x

y)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4
3

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4
同理x(yz) =(xyz)mod 4
y)z = x
1)=(1
(yz)，结合律成立。 所以，(x
(3)

x∈S, (xx)=x,，所以1是单位元。
(4)
1
1
1,3
1
3,
0和2没有逆元
所以，〈S，

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下：


x,y∈Z,xoy= x+y-2
问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1)

x,y∈Z, xoy= x+y-2
Z
,o是Z上的代数运算。
(2)

x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4
同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设
e
是单位元，

x∈Z, xo
e
=
e
ox=x,即x+
e
-2=
e
+x-2=x, e=2
(4)

x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=
e
, 即x+y-2=y+x-2=2,
所以，
x
1
y4x

所以〈Z，o〉构成群

〉不构成群


10

10

11. 设G=



01


,

< br>01


,




10

10




01

< br>,


01



，证明G关于矩阵乘法 构成一个群．


解：(1)

x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律

10
(3)设


01


是单位元，

(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得
G={a
k
∣k∈Z}

4

证明：G是交换群。
证明:

x,y∈G，设
xa
k
,ya
l，则

xya
k
a
l
a
kl
a
lk
a
l
a
k
yx

所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
22
e
0
，即
e
0
e
0
e
，由消 去律知
e
0
e
证明:设
e
0
G
也是幂等元，则
e
0

18.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣
证明：先证设
(abc)
k
e( bca)
k
e

设
(abc)
k
e,
则
(abc)(abc)(abc)(abc)e
，
bc)(abc)a(bc)aa
1
e
即
a(bc)(a
左边同乘
a
1
，右边同乘
a
得
(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)
k
a
1eae

反过来，
设
(bac)e,
则
(abc)e.

kk
由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，
aG
，当
ae
时，
a
是一阶元，当
ae
时，
a至少是3
阶元,因为群G时有限阶的，所以
a
是有限阶的，设
a
是k阶的,则
a
1
也是k阶的，所以
高于3阶的元成对出现的，G不含2阶 元，G含唯一的1阶元
e
,这与群G是偶数阶的矛
盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.
证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；
若G除了1阶元e外,其余元
a
均为2阶元，则
a
2
e< br>，
a
1
a

a,bG,a
1
a ,b
1
b,(ab)
1
ab,所以aba
1
b
1
(ba)
1
ba
，

5

与G为Abel群矛盾；
所以，G含至少含一个3阶元，设为
a，则
a
a
2
，且
a
2
aaa
2< br>。
令
ba
2
的证。
21.设G是M
n
(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。
（1）全体对称矩阵 是子群
（2）全体对角矩阵 是子群
（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群
（4）全体上（下）三角矩阵。 是子群
22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成< br>的集合，即
N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}
证明N（a）构成G的子群。
证明：ea=ae,
eN(a)


x,yN(a),则axxa,ayya


a(xy)(a x)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a
,所以
xyN(a)

由
axxa
，得
x
1
axx
1
x
1
xax
1
,x
1
aeeax
1
，即
x
1
aax
1
，所以
x
1
N(a)

所以N（a）构成G的子群
31.设

1
是 群G
1
到G
2
的同态，

2
是G
2
到G
3
的同态，证明

1


2
是G< br>1
到G
3
的同态。
证明：有已知

1
是G
1
到G
2
的函数，

2
是G
2
到 G
3
的函数，则

1
·

2
是G
1
到G
3
的函数。

a,bG
1
,(< br>
1


2
)(ab)

2
(< br>
1
(ab))

2
(

1
(a )

1
(b))


(

2
(

1
(a)))(

2
(

1
(b)))(

1


2
)(a)(

1


2
)(b)

所以:

1
·

2
是G
1
到G
3
的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。
证明：设G是循环群,令G=,
x,yG
,令
xa
k
, ya
l
,那么
xya
k
a
l
a
k l
a
lk
a
l
a
k
yx
,G是 阿贝尔群
克莱因四元群,
G{e,a,b,c}


6


e
eab
eab
e
c
c
c
aa
bb
c
cb

ea
cbae
是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。
36.设

,

是5元置换，且




21453


，



< br>34512




(1)计算

,

,

1
,

1
,
< br>1

；
(2)将

,

1
,

1

表成不交的轮换之积。
(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。

12345

12345


12345

1 2345

1

12345


解：(1)







45321

43125







45123




1



1





21534

54132
< br>



12345

12345

(2)

(1425)


1
(14253)


1

(143)(25)

(3)

(14)(12)(15)
奇置换，


1
(14)(12)(15)(13)
偶置换


1

(14)(13)(25)
奇置换



7