加法与乘法运算律
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“加法与乘法运算律”内容分析与案例
《标准》在第二学段的课程内容中关于运算律
提出两点要求：第一，“探索并了解运算律（包括加法的运
算律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法
对加法的分配律）；第二，会应用运算律进行一些简便运算。
可见，加法和乘法的运算律是小学阶段“数
与代数”领域的一个重要内容。
一、《标准》中安排运算律内容的意图
《标准》中安排这个内容的意图，我们从三个方面来交流讨论，理解它的价值。
（一）有助于对运算意义的理解
我们都知道，从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则
运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一
种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。可见，加法运算和乘
法运算是学习减法和除法运算的基础。运算律
是指运算过程中，被事实所证明的四则运算变化发展的基本
规律，有助于对四则运算意义本质的理解。如：
加法的交换律和结合律，无论在运算过程中是交换加数的
位置，还是改变运算顺序，仍然还是求和的并集
运算，所以这样的变化，都不会影响计算的结果。乘法分
配律 (a+b ) × c=a × c+b × c 变化后的算式
与原来算式相比，变化很大：步
数增加，运算顺序改变，但是为什么结果不变呢？有的学生在探究中感受
到，因为 a 个 c 加上
b 个 c ，就是 (a+b ) 个 c ，所以说学习运算律，在理解形式改变了，而结果不
变的
道理时，会进一步加深对加法和乘法运算意义的理解。
（二）有助于对运算本质的理解
在第二阶段安排这个内容，一般教科书都安排在四则混合运算的后面，也就是在突出四则混合运算顺序在
运算中的必要性后来学习运算律。 因为运算顺序是关于运算的一般规则，一般运算如果不遵循运算顺序的
一般规则，将会导致错误的结果，而运算律虽然改变了运算顺序，但运算结果并没有改变，这就是算式的
等值变形，即改变算式的形式并确保算式的值不变，这就是运算的本质。所以把四则混合运算和运算律紧
挨着编排，能给学生关于“运算”的一个整体认识，可以使学生全面看待运算问题。
（三）有助于提升学生的运算能力
运算的正确、合理、灵活和简捷是运算能力的主要标志。
其一，运算能力的首要标志就是正确、合理。运算正确和合理，涉及到算法和算理问题。算法是实施四则
运算的基本程序和方法，也就是依据某种规则的操作方法，主要解决“怎么计算”的问题；算理，简单地
说，就是运算的道理、想法，严格地说，是四则运算的依据，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算
的合理性和正确性。我们有体会，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度，算理为算法提
供了依据，那么，这里的依据，主要是指数的概念、运算定律、运算性质等知识，那么加法与乘法的运算
律就是加法和乘法有关运算提供了依据，有的还是重要的依据。
其二，运算能力的标志就是
灵活简捷。也就是根据题目的具体特点（即数据特点、运算符号），不一定按
部就班地计算，可以运用运
算律寻找更加合理简洁的运算途径，改变算式的形式，确保算式的值不变，使
运算变得简洁，体会算法的
多样性和普适性。
二、加法与乘法运算律的具体内容分析
下面我们分三个方面来谈这个问题。
（一）关于 5 个运算律的意义
加法交换律就是交换两个加数的位置，和不变；加法结合律就是三个数相加，可以先加两个数，也可以先
加后两个数，和不变；乘法交换律是交换两个因数的位置，积不变；乘法结合律是三个数相乘，可以先乘
前两个因数，也可以先乘后两个因数，积不变；乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加
数分别和这个数相乘，结果不变。
这个就是小学阶段 5
个运算律的基本内容，我们可以从以下三个方面来把握。
第一，运算律的表达形式是一个恒等式，是对原来的算式进行等值变形。
第二，变化过程中
，加法和乘法交换律变化特点是只改变数的位置，其他都不变化；加法结合律和乘法结
合律的变化特点是
只改变运算顺序，其他都不变化；而乘法分配律变化比较多：运算的步数变多了，运算
顺序也改变了，数
的位置也改变。所以它是学生学习的难点。
第三，这 5
个运算律都是最基本的，可以拓展，如交换律与结合律可以拓展为 3 、 4 个数等；乘法分配
律可
以拓展为多个数的和与一个数相乘；或拓展为两个数的差与一个数相乘。也就是说乘法可以对加法进
行分
配，也可以对减法进行分配，还可以根据除以一个数等于乘一个数的倒数，可以拓展到除法商，即两
个数
的和或差除以一个数的算式，可以应用分配律。
小学阶段学习运算律，更多的是让学生经历探索的过
程，加深对意义的理解；二是关于运算，一般都不超
过三步，所以基本的就够用了。对有余力的学生教师
可以适当拓展。实质上如果学生能理解得好，将来需
要，自然会主动迁移拓展。
（二）关于教学内容的编排
关于 5 个基本运算律的集中系统学习是在第二学段，很多版
本的教科书一般都在四年级，安排在整数四则
混合运算之后，小数、分数混合运算之前。
表
面上看，好像只有一次学习运算律，实质上，也和数的认识、数的四则运算一样，它是螺旋上升，逐步
加
深的。可以认为有这样三个阶段：第一阶段在第一学段中就出现了，融合在四则运算和混合运算方法的
探
索中以及解决简单的实际问题中；第二阶段一般在四年级系统学习运算律的意义和应用；第三阶段一般
在
五、六年级，主要是在小数、分数的混合运算中直接应用运算律使计算简便。
这三个阶段目标要求的
程度是不一样的。第一阶段没有出现概念，是自然渗透、自觉运用，因为运算律是
被事实所证明的四则运
算变化发展的基本规律，学生能够结合生活实例或具体的题目，对运算律有所感悟
和体会。例如，三年级
学习口算 1 3 × 12 ，很多同学都能这样计算： 13 × 10+13 ×
2=130+26=156 ；
二年级解决问题时，列出了连加法 109+134+91
，有的学生就能结合问题情境，先算 109+91 再加 134
，
这样的例子有很多，学生凭借直觉已经认可和接纳了这些规律，并能在计算和解决问题中主动运用。
第二阶段的系统学习，主要是进一步丰富运算律的现实背景，经历探索运算律的过程，理解 5
个运算律的
运算意义，并能用字母表达，应用运算律使一些运算简便，同时培养合情推理能力。
第三阶段是进一步加深对意义的理解和进一步拓展应用阶段，也就是在小数、分数四则运算和
混合运算中
直接应用。 在整数中发现的一些运算的定律，当数域扩大的时候，严格地说应该进行重新的
证明，但小学
数学中一般不展开严谨的证明。但是为了对后续学习保持思想的一致，应该在使用规律之前
做一点说明：
如乘法交换律也是适用于分数和小数的计算，可以举例说明，算式、画图表示更为清楚。
运算律的学习，主要内容是运算律本身的意义，应用运算律探索计算方法，以及应用运算进行简便计算三
个方面的内容。它所承载的课程目标有哪些呢？
基本知识与技能：理解运算律的含义，会用字母表示，掌握基本的简便运算方法。
数学思考
方面：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较
清楚地表
达自己的思考过程与结果；会独立思考，体会一些数学的基本思想。
解决问题方面： 初步学会从数
学的角度发现问题和提出问题；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，
体验解决问题方法的多样性；
学会与他人合作交流。
情感态度： 在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值；初
步养成乐于思考、勇于质疑、
言必有据等良好品质。
三、运算律内容主要的教学策略与建议
（一）恰当地选择好学习起点问题，让学生经历提出与发现问题的过程
学生的学习起点一般
有两条路径：从现实问题出发，在解决简单实际问题过程中抽象出运算律的等式；另
一个就是数学问题的
起点，直接从抽象的算式入手，获得运算律的等式。北师版教科书就同时有这两种思
路的编排，如：学生
已经积累了关于运算律意义和简便运算的活动经验，而且加法和乘法的交换律和结合
律都比较容易理解，
所以教学时，可以直接观察已知算式的特点来引入新知识的学习；而乘法的运算律比
较复杂，在理解上有
一定的难度，建议以现实为起点，从生活中的实例引入。
不一定所有新知识的学习都要以现实问题为
起点，也可以根据知识的特点，直接从数学问题入手，不能僵
化。其次要强调的，无论怎样引入，都要给
学生提供可观察的算式，让学生自己通过观察等式的特点，初
步发现规律，然后尝试着自己举出例子，来
确认规律，然后通过归纳法，总结发现，提出规律。因为一般
的定理都要求证明，但是小学生严格的演绎
证明是有一定困难的，一般是采用归纳法，进行合情推理，从
而经历提出问题、发现问题的过程，积累推
理的活动经验。
（二）充分运用生活实例或直观模型，解释和理解运算律的含义
在前面
学习四则运算时，为了让学生深刻地理解四则运算的意义，都让学生结合算式编故事，这是抽象回
到具体
的过程，对运算律的理解学习同样适用。在总结出规律后，可以给学生提供现实问题和解决问题的
算式，
让学生结合起来，解释等式为什么是成立的，也可以直接给具体运算律的表达式，让学生编故事，
也可以
给一些直观模型，如两个长方形的电子图可以帮助学生理解乘法分配律，很多个小立方块组成的大
一点的
长方体，可以帮助学生解释乘法结合律等等，都可以帮助学生直观、形象地理解运算律的含义，加
深理解
。
（三）简便运算以解决基本问题为主，降低学习的难度
运算律可以使
一些运算简便，但不是运算律价值的全部。《标准》强调掌握“比较”的运算技能，不要拔
高要求。重要
的是掌握基本的简便运算的方法，问题大都符合运算律的基本形式，可以直接应用运算律进
行简便运算，
主要目的是培养学生简便运算的意识，感受计算方法的多样化。而对于一些较难的算式，由
于应用运算律
时要进行等值变形，过程比较复杂，也需要一些技巧，学生往往容易出错。因此，教科书把
一些简便运算
的变式问题，拓展问题编排在“？”里，让学有余力的学生尝试，很多试题一般能按照混合
运算顺序正确
计算就可以，这样，能减低简便运算的学习难度，淡化不必要的技巧训练，减轻学习负担，
增强学习计算
问题的自信心。
（四）尊重学生的个性化表述，更强调用字母表述规律
加法的结合律和
乘法的结合律、分配律表述起来比较麻烦，有部分学生是心里明白，能发现也能应用，但
是不一定能简练
概括意义的内容，只要学生用自己的话说明白就行了，不要求用规范的语言来表述，更不
要求背诵。强调
用字母代替数，写出发现的规律的字母表达式就行了，因为这也是一个由具体数值计算到
符号表达的过程
，能帮助学生完成由几个特例的共性特点归纳概括出一般性的结论，从而简练清晰地提出
问题。在体会符
号简洁美的同时，感悟归纳推理的魅力。