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《运算律》单元分析
本单位教学运算律，包括加法交换律、结合律，乘法交 换律、结合律、分
配律。整数的运算律在小数、分数的运算中同样存在，教材先在整数范围内教
学运算律，以后再推广到小数、分数的运算中去，是一种合理的安排。
运算律是整数加法和乘法计算法 则的推理依据。多位数加法把相同数位上
的数相加，即具有相同计数单位的数直接相加，主要依据了加法 结合律，也应
用了加法交换律。三位数乘一位数把三位数个位、十位、百位上的数依次分别
乘一 位数，主要依据了乘法分配律。三位数乘两位数把三位数分别乘两位数个
位、十位上的数，再把两次乘的 结果相加，也是依据了乘法分配律。小学数学
里，计算教学在前，运算律教学在后，计算方法不从运算律 推出，是考虑了学
生年龄与智力发展的阶段性特点。不过，在教学运算律以后，如果再认计算法
则，还会有深一层的理解。
运算律是继续教学某些数学知识的重要基础。尤其是应用运算律进行简便< br>计算，既提高了解决计算问题的效率，更提高了学生的计算能力。
运算律是高度概括的运算知识 ，是在大量的计算现象中归纳出来的数学内
容。运算律是加法、乘法计算中具有普遍意义的规律，经过演 绎推理能够运用
到具体的计算中去，对发展学生的数学思维十分有益。所以，教学运算律需要
联 系实际，从现实的解题活动中得出运算律。教学运算律不仅要解释数学规律，
还要关注学生的数学思考。 全单元编排七道例题，具体安排如下：
例1 加法交换律、结合律 例2 应用加法运算律进行简便计算
例3 乘法交换律 例4 乘法结合律
例5 乘法分配律 例6 应用乘法运算律进行简便计算
例7 相遇问题
从表格里可以看到，教材的安排是先教学加法的运算律，再教学乘法的运
算律；先教 学交换律和结合律，再教学分配律；先教学运算律的含义，再教学
运算律的应用。这样安排有三点原因： 首先是由易到难，便于教学。我们知道，
交换律的内容比结合律简单，分配律的内容更加复杂，学生对交 换律的感性认
识比结合律和分配律丰富，先教学比较容易的交换律，有利于激发学生探索运
算律 的兴趣。其次是提高教学效率，发挥学生的能动性。交换律的教学容易组
织和实施，而交换律的教学方法 与学习活动经验，可以应用到结合律和分配律
的教学中去。这种内在的可迁移性，有利于确立学生的学习 主体地位。再次是
遵循了学生的认识规律。人们掌握运算律，应该先理解运算律的具体含义，再
应用运算律使一些计算简便，小学生学习运算律，也应该达到理解和掌握的程
度，也需要有合理的安排。
教材把相遇问题编排在本单元的最后教学，这是因为两个物体作相向运动，
如果分别已知它们的 运动速度，以及同时相向运动的时间，求它们运动的路程
和，通常有两种算法，而两种算法之间可以用乘 法分配律沟通、转换。所以，
把相遇问题编排在运算律的单元里教学，有助于学生联系实际问题里的数量 关
系，进一步体验乘法分配律的含义，也有助于学生联系乘法分配律，理解相遇

问题两种解法的关系。
（一） 在观察、实验、归纳、类比等学习活动中主动认识运算律
数学教学不仅要学生获得重要的数学知识，还 要发挥教学内容的育人功能，
使学生在各个方面有所发展。教材希望学生在本单元的教学中，掌握运算律 并
发展初步的推理能力。为此，设计了一条鲜明的教学线索，在发现运算律、总
结运算律的时候 ，都给学生留出自主探索、独立思考的空间，为他们安排了丰
富、多样、有趣、高效的学习活动。教材安 排的教学过程是“解决一个实际问
题——看到一个数学现象——举出更多的例子——在众多案例中抽象概 括——
用符号表示发现的规律”，引导学生充分地观察、实验、归纳、类比，形成正确
的数学结 论。
1. 引出一个实例，解决一个实际问题。
教材编排四道例题分别教学加法交换律与结 合律、乘法交换律、结合律、
分配律。例1教学加法交换律，呈现的实际问题里已知28个男生跳绳，1 7个
女生跳绳，23个女生踢毽子，求跳绳的学生有多少人。解决这个问题，数量关
系可以是“ 男生跳绳人数+女生跳绳人数”，或者是“女生跳绳人数+男生跳绳
人数”，即可以列出算式28+17 或17+28。由于两个算式的得数相同，这两个算
式可以组成等式28+17=17+28，这是加法 交换律的第一个实例。
例1接着求跳绳和踢毽子的一共有多少人，数量关系可以是“跳绳人数+
踢毽子人数”，列出算式（28+17）+23；数量关系也可以是“男生人数+女生人
数”，列出算 式28+（17+23）。两个算式的得数相同，也能组成等式（28+17）
+23=28+（17+ 23），这是教学加法结合律的第一个实例。
例4教学乘法结合律，呈现的实际问题是“华丰小学举行 跳绳比赛，每个
班选派23人参加。每个年级有5个班，6个年级一共选派多少人参加比赛？”
解决这个问题的数量关系式可以是“一个年级参加的人数×一共的年级数”或
者是“每班参加的人数×一 共的班级数”，列出的算式是（23×5）×6或者23
×（5×6）。两个算式解决同一个问题，得数 相同，能组成等式（23×5）×6=23
×（5×6），这是乘法结合律的第一个实例。
例 5教学乘法分配律，呈现的实际问题是“四年级有6个班，五年级有4
个班。每个班领24根跳绳，四、 五年级一共领多少根跳绳？”解决问题的数量
关系式是“四、五年级一共的班级数×每班领的根数”或者 是“四年级领的根
数+五年级领的根数”，算式是（6+4）×24或者6×24+4×24。两个算式 可以
组成等式（6+4）×24=6×24+4×24，是乘法分配律的第一个实例。
各个实 例的教学要点是等式表达的数学内容。在28+17=17+28这个等式里，
等号两边的加数调换了位 置；在（28+17）+23=28+（17+23）这个等式里，等
号两边的运算顺序不同，分别是“ 先把前两个数相加，再加第三个数”和“先
把后两个数相加，再与第一个数相加”。在（23×5）×6 =23×（5×6）这个等
式里，等号两边的运算顺序不同，分别是“先把前两个数相乘，再与第三个数
相乘”和“先把后两个数相乘，再与第一个数相乘”。在（6+4）×24=6×24+4
×2 4这个等式里，等号左边是“两个数相加的和乘一个数”，右边是“两个加

数分别乘一个数，并把两个乘积相加”。教学应组织学生仔细观察第一个实例的
等式，了解等式 表示的数学内容，明白知识特点，产生进一步探索规律的积极
性。
教学各条运算律的第一个实 例要注意两点：一是教师要和学生共同参与列
算式的活动。例1的第二个问题“跳绳和踢毽子的一共有多 少人”可以列出许
多个算式，但不都是研究加法结合律所适宜的算式。这时，教师与学生一起列
式，可以避免列算式环节上不必要的纠缠，及时排除与结合律无关的那些算式。
二是挖掘等式里的数学内 容十分重要。必须把学生的注意力引导到对运算律的
研究上去，看到等式两边的加数位置调换了，看到等 式两边的运算顺序变了。
但是，挖掘数学内容应紧密联系算式实际，尽量具体一些，不要太多、太早地< br>抽象概括，更不要仅此一例就得出运算律。要充分联系熟悉的问题情境与数量
关系，使学生在首次 感受运算律时能体会到它的合理性。
2. 举出更多的例子。
从第一个实例中看到的数学现 象是不是普遍规律，还需要在类似的情况里
验证。教学加法交换律，例1要学生“再写几个这样的等式” ，在众多实例中证
实“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。教学加法结合律，例1让学生分
别计算（45+25）+16与45+（25+16）、（39+18）+22与39+（18+22），看看 每
组的两道算式中间能不能填上等号，在较多的实例里体会“三个数相加，可以
先加前两个数， 再加第三个数，也可以先加后两个数，再加第一个数”。例3、
例4、例5分别教学乘法交换律、结合律 、分配律，教材都要求学生仿照第一
个实例，“再写几个这样的等式”，证实在有关乘法算式里都存在交 换律、结合
律、分配律，体验第一个实例中的数学现象在类似的例子中同样存在，具有普
遍性。
加法和乘法的交换律比较简单，学生寻找其他实例也比较容易。结合律和分配
律比较复杂，例1 教学加法结合律，教材给出两组算式，让学生通过计算证实
同组的两道算式得数相同，组成的等式与解决 实际问题的等式有相同的数学特
征。例4、5教学乘法结合律、分配律，教材要求学生列举实例进行验证 ，引导
他们把加法结合律的活动经验应用到学习乘法运算律上来，体现了学习水平的
层次性。教 学应帮助学生写出算式、算出得数、比较结果、形成等式。同组的
两道算式之间不能随意写出等号，必须 分别计算两道算式，比较得数以后才确
定。这一步教学，从个案的等式关系到若干同类现象的等式关系， 丰富了对运
算律的感性认识，也体现了科学的认知方法与态度。
3. 在丰富的案例中概括。
教学每一条运算律，教材都要联系实际问题里以及继续列举的那些等式，说
说“有什么发现”， 引导学生对众多案例进行概括，把同一类案例的共同特征提
取出来，并用数学语言描述。
与过 去教材不同的是，新教材没有用文字语言讲述各条运算律的内容。这并不
是不需要概括性的描述，而是把 概括运算律的活动留给学生进行，以避免机械
接受、死记硬背。学生经过自己的观察、验证，再用自己的 语言讲述运算律的

内容，才是他们对运算律实实在在的理解。教学 应十分重视这个环节，给学生
提供充分的思考、交流时间，这是锻炼数学思维的极好时机。当然，对学生 的
口头表述不应提出过高的要求，能说得基本正确、能说得基本清楚就可以了。
概括要联系等式，在教学的各个环节有计划地进行，逐步达到要求。
4. 用字母表示运算律。
用字母表示运算律，可以视为建立关于运算律的数学模型。它简明、准确、
概括地表达了各条运算律的本质数学内容，有助于学生记忆与交流。
教学加法交换律，教材鼓励学生 “用自己喜欢的方法表示”。可以像“番茄”卡
通那样用语言叙述，可以像“蘑菇”卡通那样用图形组成 的式子表示，也可以
像“辣椒”卡通那样用文字写成的等式表示，还可以用其他方法表示。学生采
用任何一种方法表示，都反映了“交换两个加数的位置，和不变”的规律，都
经历了建立数学模型的过 程。用含有字母的等式表示运算律，是人们已有的约
定。教材指出，如果用字母表示加数，运算律可以写 成字母表示的等式，体现
了这种表示方法的优越性，既能加强对运算律的理解，又有利于培养符号意识，
发展符号感。
用符号表示各条运算律的教学过程不尽相同。加法交换律先用图形表示，再用< br>字母表示。因为图形比字母生动、有趣，学生容易接受，也喜欢采用。而字母
表示，则相当简明、 方便。其他各条运算律，直接用含有字母的等式表示，跳
过了用图形或别的方法表示的环节，这是考虑到 学生已经具有用字母表示运算
律的体验与能力，不必在其他表示方法上花费时间和精力了。
5. 根据结合律和分配律进行逆向推理。
加法、乘法的结合律以及乘法分配律都可以逆向理 解与应用，逆向理解能
深刻认识运算律，逆向应用能提高计算效率。三个数相加（或相乘），先把后两< br>个数相加（乘），再加（乘）第一个数，可以改变成先把前两个数相加（乘），
再加（乘）第三个 数。两个乘式相加，如果有一个相同乘数，那么可以先把不
同的乘数相加，再乘相同的乘数。教材把这些 逆向推理安排在练习里教学。
（二） 体验简便运算，培养主动应用运算律的意识
应用运算 律能使一些计算简便，这是计算能力的重要组成部分。采用简便
运算不应是教材或教师对学生的规定，而 应是学生的主动追求和自觉行为。教
材只编排少量例题作为简便计算的引导，而在练习里提供了许多实施 简便计算
的机会，让学生主动进行简便运算。关于应用运算律的简便计算，分四步教学:
第一 步是渗透简便运算。第二步是教学简便计算第三步是灵活进行简便计算。
第四步是拓展简便运算。
（三） 应用解决问题的策略，联系乘法分配律，探索相遇问题的解法
例7是相遇问题的一种 情形：小明和小芳同时从家出发走向学校，经过4分钟
两人在校门口相遇。已知两人的行走速度，求两人 行走的路程和。学生解决相
遇问题，应该了解相遇问题的运动特点，理解其数量关系。教材在文字叙述实
际问题以后，画出小明和小芳同时从家出发走向学校的示意图，并分别给出两
人行走的速度，帮 助学生直观了解相遇问题的运动方式与特点。要求学生按解

决问题 的一般步骤，先整理实际问题里的数学信息，准确理解题意；再根据整
理的条件与问题，分析数量关系， 形成解决问题的思考，并采用两种不同的解
法解决问题；然后回顾解决问题的方法与过程，交流体会，认 识相遇问题的特
点，积累解决问题的经验。
整理实际问题里的条件与问题，可以采用画图形式 ，也可以采用列表形式。在
线段图上可以把两家的房屋、学校等简化成端点、小旗等符号，清楚地表示出
小明从家到学校走了4个70米，小芳从家到学校走了4个60米。在表格里应
该分别列出小明 和小芳各人行走的速度与时间。无论采用哪一种形式整理，都
应让学生看着自己的线段图或表格复述题意 ，说出相遇问题的运动特点——两
人从两地同时出发，相对而行，在途中相遇；说出相遇问题里的数量— —两人
的行走速度各是多少，经过多少时间两人相遇；说出相遇问题的所求问题——
两人一共行 走多少路程。
分析数量关系应充分利用线段图和表格。从线段图上可以很清楚地看出：
求两家 相距多少米就是求两人一共行走多少米，其中小明走了4个70米，他一
共走了（70×4）米；小芳走 了4个60米，她一共走了（60×4）米；两人一共
走了（70×4+60×4）米。在表格里不仅能 够看到两家相距4个70米与4个60
米的和，还能看出两家相距4个130米（70米+60米）。教 材呈现的“番茄”
卡通的想法，在线段图上容易形成，需要三步计算才能解决问题。“蘑菇”卡通
的想法，在表格里容易想到，只需要两步计算就能解决问题。
例题要求学生“先用不同的方法解答， 再想一想两种解法有什么联系”。这里用
不同方法解答，并不是对相遇问题“一题多解”，而是希望通过 两种解答，理解
相遇问题里的“路程和”是“两人分别运动的路程之和（一人的路程加另一人
的 路程）”也是“两人速度和（一人速度加另一人速度）的若干倍”。研究两种
解法的联系，发现两种解法 的综合算式可以用乘法分配律沟通，一个算式能转
化成另一个算式。这种沟通有利于学生理解相遇问题里 的数量关系以及相遇问
题的两种解法，也有助于学生联系相遇问题进一步体验乘法分配律的内涵。
“蘑菇”卡通的解法虽然只要两步，但形成和理解这种解法的思考过程比较难。
第三，用 乘法分配律沟通两种解法的综合算式，70×4+60×4=（70+60）×4，
从左边算式的两个乘 式有相同乘数“4”，体验右边算法的合理性。
相遇问题常见的情形有三种：一种求两个物体的路程和 ；一种求两个物体
的相遇时间；一种求某个物体的运动速度。本单元只出现第一种情形的问题，
要求学生掌握求“路程和”的方法，另两种情形的问题，在后面教材里会陆续
出现。不过，教材里属于相 遇问题第一种情形的实际问题仍然有较多的变化。
如，由两人的相向运动到两人的相背运动；由直线道路 上的相遇到环形跑道上
的相遇或相背运动；由两人的相对运动到两人做同一件事情„„这些情节和题材的变化都没有改变相遇问题的本质特点和基本解法，都出现在练习里，都应
让学生主动适应、主动 掌握。
（四） 单元《整理与练习》进一步明确知识、技能的教学要求，进一步明晰知
识结构 ，进一步加强运算规律的应用。