万事功到自然成的上一句-换房子

趣味棋子游戏中的数学

朋友，你可玩过游戏么？你可知道身边熟悉的游戏也 许都蕴涵着数学知识？今天让我们
来领略一下两个有趣棋子游戏中的数学.
一．取棋子游戏
游戏规则：
（1）取一堆棋子，一共13枚；
（2）每次游戏双方轮流从中取走1至5枚棋子；
（3）谁取最后1枚棋子谁输。
如果有人 邀请你做这个游戏可要留心了，因为这个看似简单的游戏其实暗藏玄机，不
了解的人必输无疑。
那么让我们来分析一下这个游戏
首先采取逆推法，观察当剩下一定数量的棋子，对于取者是有利还是不利。由游戏规则
可得
（1）当只有1枚棋子的时候，显然取者必输；
（2）当有2至6枚棋子时，取者可以对应取走1至5枚棋子从而只剩下1枚给对手，获
得胜利
（3）当有7枚棋子的时候，取者无论取走1至5枚中的任何一个数都会使棋子堆中剩下
2至6 枚棋子，从而对手就可以根据（2）获胜，取者失败
（4）当有8至12枚棋子的时候取者只要对应取 走1至5枚棋子即可使棋子堆中剩下7
枚棋子由对手来取，从而根据（3）对手必败，取者获胜
（5）当有13枚棋子的时候，无论取者取多少都将进入剩下8至12枚棋子的情况，从而
对手将根据 （4）获胜，取者失败。
也就是说，这个游戏中后取者一方得胜的几率是100%。假如你不幸先取，那就没有任
何可能胜利。
同时研究以上（1）至（5）的情况，我们会发现，只有当棋子堆中剩下1枚，7枚，13枚时，先取者是会失败的。这有什么规律呢？经过观察可以发现
1＝1＋0*6 7＝1＋1*6 13＝1＋2*6

由此我们可以将这个游戏中的 总棋子数推广到M，设有M个硬币每次游戏双方轮流从
中取走1至5枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。
则当M＝1＋6n 即 6除M的余数为1时，后取者必定胜利。
那么为什么是6这个数呢，经过观察，我们可以发现因为6＝1＋5
是“一个玩家每次可以取的最大枚数”＋1
于是这个游戏中的数据可以继续推广，设有M个硬 币，每次游戏双方轮流从中取走1
至a枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。
当M＝1＋（1＋a）n时后取者必胜
我们可以对该公式进行验证
假设该游戏进行了n个回合后结束
先取者每轮从硬币堆中取走x个硬币（1≤x≤a）
则后取者可以选择取走（1＋a－x）个硬币
那么硬币堆每回合都会减少1 ＋a个硬币，第n回合结束后，将只剩下1枚硬币，因为
此时由先取者取硬币，先取者就输了。
利用这条公式我们可以构造出许多类似的数据进行游戏如
当有65枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至7枚硬币则先取者必输
当有82枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至8枚硬币则先取者必输
当有101枚硬币 ，每次游戏双方轮流从中取走1至9枚硬币则先取者必输
诸如此类„„„„

二．翻棋子游戏
游戏规则：
（1）有一个2*2棋盘，棋盘上每个格子上都有一枚棋子
（2）两个人进行该游戏，每回合 里轮回行动，其中一人可以决定选择翻转某两枚或者一
枚棋子，接着另一人可以选择将棋盘旋转90，1 80或者270度，或什么都不做。
（3）游戏轮流进行到所有棋子同面向上翻棋者胜
（4）选择翻棋子的人在游戏过程中无法看到棋盘上的棋子
这个游戏看似复杂，让人望而生畏 ，其实是有迹可寻的，首先我们采取穷举法列出所有
初始情况如下（H代表正面，T代表反面）

1和4上下对称，实际属于一种状态。这样就只有1、2、3三种初始状态了。
目标是，经过数次翻转棋子，使得所有的状态都能达到全上或者全下的情形。
1. 任一对角线翻转（这里的翻转指的是上面的每个棋子都翻个个，下同）这一步做完
后，便出现如下情形：
状态（1）不变，因为它要么变成对称，要么旋转角度。
状态（2）也不变，只是旋转了一下角度而已。
状态（3）直接变成全上或全下了，OK，属于提前完成任务，丢弃。
2. 任一条边翻转
长话短说，状态（1）依然不变，因为除了变角度就是变成对称。
状态（2）分两种情况。一种是直接胜利，丢弃。另一种是变成状态（3）。
3. 任一对角线翻转
状态（1）仍然不变，状态（3）直接走向胜利。
4. 任一个硬币翻转
这一步的目的是让状态（1）变成状态（2）或者状态（3）。这样，后续的步骤就和前
面一样 了。
5. 任一对角线翻转
6. 任一条边翻转
7. 任一对角线翻转 < br>这个方法分成两部分，前三步和后三步。前三步处理棋盘上有偶数颗正面朝上的棋子的
情况。第四 步把奇数颗正面朝上的情况转化成偶数颗正面朝上的棋子，然后重复使用前三步
的策略即可。
这个方法可以直接推广到的情况：

在给出方法前，先定义棋子状态为0如果正 面朝上，为1若正面朝下。若干个状态的
XOR和指状态的和除以2的余数。两个棋子对称是指两个棋子 处于正多边形棋盘的直径上（此
时为偶数）。
假设
S(k)
为
n 2k
时的策略。我们来递归构造策略
S(k)
：
1、如果棋盘上任何对称的 棋子方向都相同，则将对角的棋子一个整体（同时操作）之
后，
。
2、如果棋盘上任 何对称的棋子方向都相同或者同时都相反，类似1先调用
方向都相同，则已经解决了问题。若否，注意到 调用
C
1
棋子的朝向，这样调用
，若棋子
枚棋子转化成的情形，调用 即可让所有棋子方向相同。此策略记为
的过程只会同时改变对称的两个
之后还是满足任何对称的 棋子方向都相反，这时候，翻转连续的
可以解决任
个棋子。
枚棋子调用
的每
个棋子，从而可以转化成1情况。所以，策略
何对称的棋子相同或者相反的情况。其中表示翻转 连续的
3、接下来主要是把问题转化为2中的情况。这时候只需要对某连续
即可。这是因为如果 我们把对称的棋子看成一个整体的话，则这次
次操作都只作用于任何对称的棋子的其中一枚上。这样，如 果我们考虑对称棋子的XOR和的
话，的过程中会出现所有对称的棋子方向都相同或者都相反的情形，也 就是2中
的每一步后，都的情况。由于我们不知道这个状态在什么时候出现，所以在这个
需要执 行一次操作。最后将情况还原到全部棋子朝向统一.
其实还有许多我们熟悉的游戏都蕴涵着数学知识， 只要我们善于发现和思考，就可以在
游戏中兼获乐趣和知识