数学家的故事：中国古代著名数学家赵爽
完美故事-三年级语文教学计划
中国古代著名数学家赵爽
赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代
吴国人。他是我国
历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过
“算术”。他的主要贡献是约
在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的
天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序
言，并作了详细注释。该书简
明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾
股圆方
图”注文是数学史上极有价值的文献。它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，
将勾股定
理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出
了新的证明：“按弦图，又可以
勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差
自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”
二字表示赵爽认为勾股定理
还可以用另一种方法证明。
出入相补原理
即2ab
+(b-a)^2=c^2，化简便得a^2+b^2=c^2。其基本思想是图形经过割补后，
其面积
不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后
世演段术的基础。赵爽在注文中
证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。
例如√(2(c-a)(c-b))+(c-b)=a
，√(2(c-a)(c-b))+(c-a)=b，√(2(c-a)(c-b))+(c-a)+(c-b)
=c
等等。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程
求根公式之
一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高
图论”中给出重差术的证明。赵爽的
数学思想和方法对中国古代数学体系的形成
和发展有一定影响。
赵爽自称负薪余日，研究《周髀》，遂为之作注，可见他是一个未脱离体力
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劳动的天算学家。一般认为，《周髀算经》成书于公元前100年前后，是一部引
用分数运算
及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作。而大约同时成书的
《九章算术》，则明确提出了勾股定
理以及某些解勾股形问题。赵爽《周髀算经
注》逐段解释《周髀》经文。
勾股圆方图
最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图，短短500余字，概括了《周髀算经》、
《九章算
术》以来中国人关于勾股算术的成就，其中包含了：
勾股定理(这里以a，b，c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之
长)a^2+b^2=C^2
及其变形b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)，a^2=c^2-b^2=(c-b)
(c+b)，c^2=2ab+(b-a)^2；
有通过开带从平方a^2+(b-a)a=12[c
^2-(b-a)^2]求勾a开平方a=[c^2-(c^2-a^2)]^12
求勾a开带从平方(
c-a)^2+2a(c-a)=c^2-a^2求勾弦差c-a的方法，以及：c=(c-a)+a，
c+a=b^2(c-1)，c-a=b^2(c+a)，c=[(c=a)^2+b^2]2(c+a)，a=
[(c+a)^2-b^2]2(c+a)等
公式，与上述公式对称，也有求b，c-b，c+b及由c
-b，c+b求c，b的公式，又
有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：a=[2(c-a)(c-
b)]^12+(c-b)，
b=[2(c-a)(c-b)]^12+(c-a)，
c=[
(2(c-a)(c-b)]^12+(c-b)+(c-a)以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式
(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2，a+b=[2c^2-(b-a)^2]^12，b-a=[2
c^2-(b+a)^2]^12，进而由
此给出了求a，b的公式b=12[(a+b)+(b-a)
]，a=12[(a+b)-(b-a)]，最后给出了由弦
与勾（或股）表示的股(或勾)弦并与股(
或勾)弦差之差：
(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^12(c+a)-(c-a
)=[(2c)^2-4b^2]^12赵爽用出入相补方法对
上述公式作了证明。这些公式大都与《九
章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证
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明方法也类似，只是最后
两个公式为刘徽注所没有，所用术语也与刘徽稍异。可
见，这些知识是汉魏时期数学家们的共识。《畴人
传》说勾股圆方图注“五百余
言耳，而后人数千言所不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也”
。
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