哀悼的意思-浪淘沙欧阳修

元代数学家杨辉的故事
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今杭州）人，中国古代数
学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨
辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足 迹遍及苏杭一带，
他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰
富的纵横图和讨论 其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、
朱世杰并趁称宋元数学四大家。
杨辉一生留下了大量 的著述，他著名的数学书共五种二十一
卷，它们是：《详解九章算法》12卷(1261年)，《日用算 法》
2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第3卷与他
人合编)，《田亩 比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇
算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种 为杨辉后期
所著，一般称之为《杨辉算法》。他非常重视数学教育的普
及和发展，在《算法通变 本末》中，杨辉为初学者制订的
习算纲目是中国数学教育史上的重要文献。
杨辉在《详解九章 算法》一书中还画了一张表示二项式展开
后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。
杨辉的故事


说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。

一天，台州府的地方官杨辉出外 巡游，路上，前面铜锣开道，
后面衙役殿后，中间，大轿抬起，好不威风。迷人的春天慷
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慨地散布着芳香的气息，带来了生活的欢乐和幸福。杜鹃隐
藏在芒果树的枝 头。用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来
唤醒人们的希望。成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的
芬芳熏醉了。杨辉撩起轿帘，看那杂花生 树，飞鸟穿林，真
乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎
风光。走着、走着 ，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩
童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才
让走，要不就绕道。”杨辉一看来了兴趣 ，连忙下轿抬步，
来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”杨辉摸
着孩童头说：“为 何不让本官从此处经过？”孩童答道：
“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起
来了。”“什么算式？”“就是把1到9的数字分三行排列，
不论直着加，横着加，还是斜着加，结果 都是等于15。我们
先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”杨
辉连忙蹲下身， 仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字，从
哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》< br>书中所写的文章中提及的。杨辉和孩童俩人连忙一起算了起
来，直到天已过午，俩人才舒了一口气 ，结果出来了，他们
又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。我们把算
式摆出来：（ 在左边的方块中，无论你横、竖、斜着加结果
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都是15。请试一下 ）孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽
搁你的时间了，到我家吃饭吧！”杨辉一听，说：“好，好，
下午我也去见见你先生。”孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉
心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地 问道：“到底是怎么回
事？”孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上
学，家中穷得连 饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主
家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，
今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决
了。杨辉听到此，感动万分，一个小 小的孩童，竟有这番苦
心，实在不易。便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家
去吧。下午你 到学校去，我在那儿等你。”下午，杨辉带着
孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银
两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽。
自此，这孩童方才有了真正的先生。教书先生对杨 辉的清廉
为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：“方才我
和孩童做的那道题好像是《 大戴礼》书中的？”那先生笑着
说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文
集， 但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就
是我给孩子们出的数学游戏题。”教书先生看到杨 辉疑惑的
神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写
过：“九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七，戴九履一，
五居中央。”杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童
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摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出
来的？”教 书先生也不知出处。
杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数
字，终于发现 一条规律。他把这条规律总结成四句话：九子
斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：一开始
将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7
和右边3对换，最后将位于四角的4 、2、6、8分别向外移
动，排成纵横三行，就构成了九宫图。下面我们演示一下：
（九子斜排 ）（上下对易，左右相更）（四维挺出）按照类似
的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16 的数字
排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之
和均为34。
< br>后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问
题加以整理，得到了“五五图”、“六 六图”、“衍数图”、
“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。杨
辉把这些图总 称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著
作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。纵横图，也叫 幻
方，它要求把从1到n2个连续的自然数安置在n2个格子理。
但长期以来，人们习惯于把它 当作纯粹的数学游戏，没有给
予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来
越强大 的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学
等领域中，找到了用武之地。杨辉可以说是世界上第 一个给
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出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。

杨辉除此成就 之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。
有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋 数
家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一
张图，叫作“开方作法本源图”。 图中的数字排列成一个大
三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面
两数字之和 。从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都
对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：在第三 行
中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
再 如第四行对应于（X+1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此类推。
杨辉把贾宪的这张画忠实 地记录下来，并保存在自己的《详
解九章算术》一书中。
后来人们发现，这个大三角形不仅可 以用来开方和解方程，
而且与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都有密切关
系。在西方， 直到16世纪才有人在一本书的封面上绘出类
似的图形。法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地 讨
论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”。

杨辉除上述成就外，还分 别写了《日用算法》、《乘除通变本
末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当
时的数学面貌提供了极为重要的资料。杨辉的几部著作极大
地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发 展做出了卓越
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的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
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