的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾
连续的0的个数．
※5.如果一个数能同时被多个整数整除，那么一定能被这些数的最小
公倍数整除，而求多个数的最 小公倍数，则可以采用如下两种方法：
①短除法
求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法．
②分解质因数
将一组数的每个数 严格分解质因数，然后提出每个质因数的最高
次所对应的数，将这些提出的数相乘，求出积就是最小公倍 数．

※【还有试商法判断】
【题型精讲】

【例1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？

【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道。
【提示】能被13整除的数， 末三位与前面隔开，末三位与前面隔出
数的差(大减小)能被13整除，那么这个数能被13整除。
解：截取后三位279与剩下的数做差，即279-20□，也就是79-□能
被13整 除，又□只能取0，1,2，……9这几个数，分别代入知，只
有79-1满足条件，也就是□是1时满 足。
答：□中的数字是1。

【巩固】六位数20□□08能被99整除，□□是多少？
【解析】本题为合数整除问题，首 先需要把99分解为多个互质数相
乘的形式，再根据整除性质判断，即99=9×11。
解：99=9×11，若六位数20□□08能被99整除，那么它必须同
时能被9和11整除。
若使六位数20□□08能被9整除，那么其各位数字之和必须能
被9整除，即2+0 +□
1
+□
2
+0+8=10+□
1
+□
2
能被9整除（设□
1
为千位
数字，□
2
为百位数字），那么□1
+□
2
可能为8，17，26，……，又
因为□
1
和 □
2
只能取0,1，……9中这10个数字，所以□
1
+□
2
≤18，
所以□
1
+□
2
只能为8或17；
若使六位数 20□□08能被11整除，那么奇数位数字之和与偶数
位数字之和的差能被11整除，即8+□
2
+0-（0+□
1
+2）=6+□
2
-□
1
能
被11整除，那么□
1
-□
2
可能为6，5，16，……，又因为□
1
和□
2
只
能取0,1，……9中这10个数字，所以□
1
-□
2
≤9，所以□
1
-□
2
只能
为5或 6；
这样，若六位数20□□08能被99整除，必须同时满足□
1
+□
2
为8或17；并且□
1
-□
2
为5或6；并且□
1
、□
2
为0到9的整数，所
以由和差公式知：
①当□
1
+ □
2
=8，并且□
1
-□
2
=6时，解得□
1=7，□
2
=1，所以原六
位数为207108；
②当□
1< br>+□
2
=8，并且□
1
-□
2
=5时，解得□
1
=6.5，□
2
=1.5，不符
合题意；

< br>③当□
1
+□
2
=17，并且□
1
-□
2< br>=6时，解得□
1
=11.5，□
2
=5.5，不
符合题意；
④当□
1
+□
2
=17，并且□
1
-□
2
=5时，解得□
1
=11，□
2
=6，不符合
题意；
答：满足条件的□□是71，原六位数为207108。
【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？
【提示】49为合数，答案为05或54，即200508或205408。
解：首先用20 0008÷49=4081……39，那么若使原数能被49整除，
只需数□□39能被49整除即可， 数□□39由于末位数为9，而和9
相乘，结果个位数为9的数只有1，所以□□39除以49的商个位 数
必为1，这时商乘以49时个位没有进位，而被除数十位是3，又4+9
的个位为3，所以商 的十位数也只能为1，即商可能是
11,111,211……，
又这个数最大可能为9939 ,9939÷49<203，即商只能为11或111，所
以49×11=539或49×111=54 39，所以□□为05或54,原六位数为
200508或205408。
答：□□中的数是05或54。
【例2】173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□ 中先后填
人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：
数学老师先后 填入的3个数字的和是多少？
【提示】分别利用9、11、6的整除性质判断。

解：1）能被9整除时各个数位的和：1+7+3+□=11+□能被9整除 ，
又□≤9，所以□只能为7，四位数为1737；
2）能被11整除时，首先用173□减去11的150倍后，
即173□-11×150= 173□-1650=80+□能被11整除即可，又□≤9，
所以□只能为8，四位数为1738；
3）能被6整除时，首先用1730÷6=288……2，那么若使原数能被6
整除，只需数□ +2能被6整除即可，又□≤9，所以□只能为4，四
位数为1734；
三个数字之和：7+8+4=19.
答：数学老师先后填入的3个数字的和是19。
【巩固】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，
9整除，那么它的最后 三位数字依次是多少？
【提示】采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，
5，6，7，8，9整除，只需让七位数能被2，3，4，5，6，7，8，9
的最小公倍数整除即可 。而[2，3，4，5，6，7，8，9]=2520。
用1993000试除，1993000÷2 520=790……2200，那么若使原数能被
2520整除，只需数2200+□□□能被2520 整除即可，又□□□≤999，
即2200+□□□≤3199，而这个范围内只有2520能整除25 20，也就
是2200+□□□=2520，所以□□□只能为320，所以在末三位的方格
内 填入320即可．
【备注】
最大公约数符号：（a,b)=c，表示a和b的最大公约数是c，

最小公倍数符号：[a，b]=c，表示a、b的最小公倍数c。
【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数
是多少？
【提示】105为合数，105=3×7×5所以这个六位数同时满足能被3、
7、5整除的数的特征即 可。
方法一：利用整除特征
对于5，末位只能为0或5．
① 如果末位填 入0，那么各个数位数字和为1+9+9+2+□+0=21+□，
要求数字和是3的倍数才能被3整除 ，所以□可以为0，3，6， 9，
所求数可能为199200,199230,199260,199 290,只有199290能被7整
除，所以199290能被105整除；所以题中数字的末两位为9 0。
② 如果末位填入5，那么各个数位数字和为1+9+9+2+□+5=26+□，
要求 数字和是3的倍数才能被3整除，所以□可以为1，4，7，所求
数可能为199215,199245 ,199275,没有能被7整除的数，所以当末位
为5时不能被105整除；综上所述，题中数的末两 位只能是90．
方法二：采用试除法，同例2.

【巩固】已知四十一位数55… 5□99…9（其中5和9各有20个）能
被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
【提示 】我们知道1001=11×7×13，而ABCABC=ABC×1001,所以只要
构造出ABCA BC形式的数即可。原41位数中从高位数起共有20个5，
从低位数起共有20个9，那么我们可以分 别从低位和高位选出
555555，和999999进行分组，从算式的结构上看就是进行加法的分

拆，即：555555×10…00(35个0)+555555×10…00( 29个0)+555555
×10…00(23个0)+55□99×10…00(18个0)+999 999×10…00(12个
0)+999999×10…00(6个0)…+999999。
这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有
555555（=555× 11×7×13）或999999（=999×11×7×13）,都已经
是7的倍数，唯独剩余55□ 99×10…00(18个0)待定，那么只要55
□99能被7整除即可，
使用试商法，首 先用55099÷7=7871……2，那么若使原数能被7
整除，只需数□×100+2能被7整除即 可，又□≤9，所以只有当□
为6时满足，即55□99为55699；那么原数为55…5699…9 （其中5
和9各有20个），那么中间方格内的数字是6。
【作业】一个19位数
7 7

770444

44

< br>9个
9个
能被13整除，求О内的数字？
【例3】一位后勤人员买了72本笔记 本，可是由于他吸烟不小心，
火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字。帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，
并求笔记本的单价。
【提示】本题就是丢失的数可以看成能被72整除。
解：首先把□67.9□元作为整数□6 79□分。既然是72本笔记本的总
钱数，那就一定能被72整除，又因为72=8×9，(8，9)= 1，即8和9
互质。所以原数能同时被8和9整除。
根据能被8整除的数的特征知，8 |79□，通过计算得□=2，所
以原数末位是2。

又根据能被9 整除的数的特征知，□6792各个数位数字和：□
+6+7+9+2=□+24能被9整除，又□≤9 ，那么□只能是3。所以原数
为367.92元，那么笔记本的单价是：367.92÷72=5.11 (元).
答：原来账本上的数字为367.92元，笔记本单价为5.11元。


【例4】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它
们不是1、2就是3。在密 码中1的数目比2多，2的数目比3多，而
且密码能被3和16所整除。试问密码是多少？
【分析】由已知知，密码由7个数字组成，在密码中不是1、2就是
3，且1的数目比2多，2的数目比 3多。
那么，假设密码中有两个3，则至少有3个2,4个1，那么2+3+4=9，
即密码 为9位数，与题意不符；
假设密码中有一个3，如果有三个2，那么1至少有四个，总共
至少 有1+3+4=8个数字，与题意不符；所以只有两个2，四个1，那
么各个数位数字和为：3+2×2 +1×4=11，11不能被3整除，与题意
不符；所以密码中没有3，只有1、2。
由于1 6=2×2×2×2，所以这个数必须同时被2、4、8整除，在
由1、2组成的数中，能被2整除的数 ，个位数只能是2，在此基础
上，若使其能被4整除，那么十位数只能是1，即后二位为12，同理百位数只能是1，即后三位为112，后四位1112和2112中，只有2112
能被16整除， 所以密码的后四位是2112，又2+1+1+2=6，这样若使
其能被3整除，所以前三位数字和是3 的倍数，只有111和222满足
条件，其中2222112的2多于1，与题意不符,应予排除，所以 这个

密码只能是1112112。

【巩固】为了打开银 箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它
们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能 被3和4所
整除。试求出这个密码。
【分析】因为密码能被3整除，并且密码中的2比3要多 ，所以
2可能有4、5、6或7个。当2有4个时，密码的各个数位数字和为
17，不能被3整 除，不符合题意；当2有5个时，各个数位数字和为
16，不能被3整除，不符合题意；当2有7个时， 各个数位数字和为
14，不能被3整除，不符合题意；当2有6个时，各个数位数字和为
15， 能被3整除，所以当密码中有6个2、1个3时满足条件。
另外，密码还能被4所整除，那么它的末两 位数也应当能被4整
除，所以末两位数必定是32。所以，密码是2222232。
【例5】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续0？
【分析】求几个数 的连乘积末位有几个0，就是看这些数中末位有多
少个0和5，及初次外的其他数可以分解出多少个2连 乘，最后取2
和5个数少的统计再加上末位为0的个数和。
解：从50到100的这51个自 然数中，首先，能分解出10的数
有60=6×10、70=7×10、80=8×10、90=9×1 0、100=10×10,共有6
个10；其次，能分解出5的数有，50=5×5×2、55=11× 5、65=13×
5、75=3×5×5、85=17×5、95=19×5，共有8个5和8个偶数相 乘
可以产生8个0，其他的数均不能分解出5，所以一共有6+8=14个0．

【巩固】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个
乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多
少？最大是多少？
【分析】由于共计出现13个0，那就是说这些数至少可以分解出13
对5×2。
解：在从1开始的自然数中，2是每隔2个分解出1次，而5是
每隔5个数至少分解出1次，即5=5× 1,10=5×2，15=3×5，……，
25=5×5，……这些数中25,50,75,100， ……会出现2个5或多个5
的情况，从1开始若要出现13个5，最多到65=13×5，而小于65的
25,50出现2次，所以到55=11×5时，共出现11+2=13个5，即从1
开始的自 然数连乘到55即满足乘积的最末十三位恰好都是零；而56
到59不能分解出5，所以也满足连乘条件 。
所以，满足条件的最小数是55，最大数是59。
【例6】张老师带领同学们去种树，学 生的人数恰好等分成三组.已
知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
【分析】有学生人数恰好分成3组，说明能 被3整除；老师与学生每
人种的树一样多，说明总棵树能被总人数整除；也就是312分解出2
个数一个为人数，一个为每人种的棵树。
解：因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个 人种的棵数
又不超过10课，所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍
数)：
1312
，
3121311
不是3的倍数；
2156
，< br>1561155
不是3的倍

数；
3104，
1041103
不是3的倍数；
478
，
7817 7
不是3的倍数；
652
，
52151
是3的倍数；
839
，
39138
不是3的倍数；共有51
个学生，每个人种了6棵 树.
解：因为312=1×3×2×2×2×13，总棵数是每人种的棵数和人
数乘积 ，并且人数减去1（老师）后能被3整除，而每个人种的棵数
又不超过10课，所以每人种的棵树可能有 1,2,3,4,6,8几种情况。
当每人种1棵树时，即312=1×312,312-1=311，不能被3整除，
不符合题意；
当每人种2棵树时，即312=2×156,156-1=155，不能被3整除，
不符合题意；
当每人种3棵树时，即312=3×104,104-1=103，不能被3整除，
不符合题意；
当每人种4棵树时，即312=4×78,78-1=77，不能被3整除，
不符合题意；
当每人种6棵树时，即312=6×52,52-1=51，能被3整除，满
足题意；
当每人种8棵树时，即312=8×39,39-1=38，不能被3整除，
不符合题意；
所以，当每人种6棵树时，此时学生数为51人，满足条件。
【巩固】某班同学在班主任老师带领下去 种树，学生恰好平均分成三
组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每
人种了棵树？

【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首 先想到的
是把1073分解为多个数相乘的形式，一个数为人数一个数为每人种
的棵数，107 3=37×29，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是
37，每人种了29棵。