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第十一讲 数的整除
思考1：有一除法运算，无论除数（自然数）怎样变化，而被除 数和商都不变，
那么这个被除数应该是（ ）。0
思考2：修改31743的某一 个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是
几？33743
思考3：商店里有六只 容积不同的货箱，分别装货物15、16、18、19、20、31
千克，两个顾客买走了其中五箱货物 ，而且一个顾客买的货物重量是另一个顾客
的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？
思 考4：三个数分别是827、938、949，请再写出一个比995大的三位数，使这
四个数的平均数 是一个整数。998
思考5：请在1576的左右各添写一个数字，使得到的六位数能被45整除。3 15765
或815760
一、数的整除的特征
1．前面我们已学过奇数与偶 数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇
数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、 8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝19 00＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍
数，只要考察96是否4或2 5的倍数即可。
由于4｜96,所以4能整除1996；25不能整除96，所以25不能整除1996。
能被2 5整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整
数，末两位数只可能是00 ，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，
48，52，56，60， 64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432
显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，
所 以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，„984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；
125×7＝875；125×8＝10000
故能被125整除的整数，末三位数只能是000 ，125，250，375，500，625，
750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
如478323是否能被3（9）整除？
由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3
＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×
（9 ＋1）＋3
＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）
整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。
而第二 括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。
∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。
在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数
划掉不予考虑。
即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于
7＋2＝9 ，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。
如考察9876543被9除时是否整除，可以 只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4
＋3）是否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察 8+7。显然9不能整除
（8+7），故9不能整除9876543。
如问3是否整除9 876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字
之和。由于3|（8＋7＋5＋4）， 故有3|9876543。
实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是 这个
整数被3（9）除所得的余数。
7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如 果是11的倍数，那么这
个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、„称为奇数位，十位 、
千位、百万位„„称为偶数位。）
如判断42559能否被11整除。
42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9
＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）
＋5×（11－1）＋9
＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋
（4－2＋5－5＋9）
＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋
（4－2＋5－5＋9）
前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看 后一部分
4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。
而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9 ）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶
数位上数字之和的差。
由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍数，故42559是11的倍数。
现在要判断 7295871是否为11的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7
＋5＋2）是否为11的倍 数即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）
是1的倍数，故11|72958 71。
上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果奇数位数
字和小 于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？
如867493的奇数位数字 和为3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。显然3
＋4＋6小于9＋7＋8，即13小于24。
遇到这种情况，可在13－24这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。
由于13－24＋11＝0，恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。
又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为
（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24
7－24＋11＋11＝5（加了两次11使“够减 ”）。由于5不能被11整除，故
可立即判断738292不能被11整除。

实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶
数位数字和的差被11除所得 的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。
同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。
如186这个三位数 ，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数
位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8 ＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186
是11的倍数。

数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，

象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？
如186186被7试除后商为265 98，余数为零，即7｜186186。能否不做186186
÷7，而有较简单的判断办法呢？
由于186186＝186000＋186
＝186×1000＋186
＝186×1001
而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。
这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则
这个 数必被7整除，也被11和13整除。
或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为100 1的倍数，另一部
分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。
如判断2839704是否是7的倍数？
由于2839704＝2839000＋704
＝2839×1000＋704
＝2839×1001－2839＋704
＝2839×1001－（2839－704）
∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，所以2839704也不是11（13）的倍数。
实际上，对于283 904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍
数，只需将它分为2839和704两个 数，看它们的差是否被7（11或13）整除即
可。
又如判断42952是否被13整除 ，可将42952分为42和952两个数，只要看
952－42＝910是否被13整除即可。由于9 10＝13×70，所以13|910，

8．一个三位以上的整数能否被7（11或1 3）整除，只须看这个数的末三位
数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小 ）能否被
7（11或13）整除。
另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数 段各三位数之和与偶
数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13 ）
整除。
如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝ 728，偶数段
为546，二者的差为

728－546＝182＝7×26＝7×2×13

二、整除的几条性质
整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。
（1）a｜a（a为非零整数）；
（2）若a｜b，且b｜a，那么a＝b；
（3）若c｜b，且b｜a，那么c｜a；
（4）若c｜a，且c｜b那么c｜（a＋b）；若a≥b，那么c｜（a－b）；
（5）若m是非零整数，且b｜a，则必有bm｜am；反之，若bm｜am，则必
有b｜a；
（6）如果b｜a，c｜a，且b、c没有除1以外的公共约数（此时称b、c互
质），那么bc｜a。
对于（3），如由2｜4，4｜12，可推出2｜12。
对于（4），如由4｜36，4｜16，可推出4｜（36＋16），4｜（36－16）。
对于（5），如由3｜9可推出3×4｜9×4。反之，由3×4｜9×4可推出3｜
9。
对于（6），如由3｜24，2｜24，且3和2之间没有1以外的公共约数（即
3与2互质），可推出 3×2｜24。这一性质在很多情况下将被多次使用。
例1 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均
不相同。
分析：由于 要求被9整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起
应尽量用最小的数字排，并试验末位 数字为哪个数时，六位数为9的倍数。
解：一个以5为首位的六位数5×××××，要想使它最小，只 可能是501234
（各位数字均不相同）。
但是501234的数字和为5＋0＋1＋ 2＋3＋4＝15，并不是9的倍数，故只能
将末位数字改为7。这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18 是9的倍数，故501237是9
的倍数。
即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。
例2 老师买了72本相同的书，当时 没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用
掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补 上这两个数字吗？
（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
分析：首先将□13.7□元 化为分，这样总钱数就是□137□分（整数分）。由于
每本书价格相同，所以72｜□137□。但7 2＝8×9，所以8和9都应整除□137
□。
由于8整除□137□，所以8｜37□ 。由此可知，当37□＝376时，才有8｜
376。故原数为□1376。
又由于9整除□1376，所以其数字和□＋1＋3＋7＋6必为9的倍数。
即9｜（□＋17）。而□只能是1到9中的某个数，所以□只能是1。
因此，原数为11376分，即113.76元。
例3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，
且使这个数尽可能的小。

别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：
（1）数字和（5＋6＋8＋a＋b＋c）是3的倍数；

（3）末位c为0或5。















数分
又因3｜（5＋6＋8＋a＋b＋c），即3｜（5＋6＋8＋a＋b＋0），所以
当b＝2时，3｜（5＋6＋8＋a＋2），a可为0，3，6，9。
当b＝4时，3｜（5＋6＋8＋a＋4），a可为1，4，7。
当b＝6时，3｜（5＋6＋8＋a＋6），a可为2，5，8。
当b＝8时，3｜（5＋6＋8＋a＋8），a可为0，3，6，9
当b＝0时，3｜（5＋6＋8＋a＋0），a可为2，5，8。

例4 求能被26整除的六位数□1993□。
分析与解：由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除。
被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□
19与93□的差（93 □－□19）是13的倍数。
（1）当原数个位为0时，930＝71×13＋7，故□19也应满足被13除余7。
□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6
＝13（7×□＋1）＋9×□＋6
即9×□＋6＝13K＋7
∴ 9×□－1应是13的倍数，故□只能是3。即六位数为319930。
（2）当原数个位数为2时，932＝71×13＋9，故□19也应满足被13除余9。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3应是13的倍数，□只能是9。即六位数
为919932。
（3）当原数个位数为4时，934＝71×13＋11，故□19也应被13除余11。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴ 9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5应是13的倍数，故□只能是2。即六
位数为219934。
（4）当原数个位数为6时，936＝72×13，所以□19也应被13整除。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝1 3K，故9×□－7应是13的倍数，□只
能是8。即六位数为819936。
（5）当原数个位数为8时，938＝72×13＋2，故□19也应被13除余2。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4应是13的倍数，□只能是1。即六位数
为119938。

综合以上情况，满足条件的六位数有：
319930，919932，219934，819936，119938，共五个。
例5 将自然 数1，2，3„依次写下去组成一个数111213„。如果写
到某个自然数时，所组成的数恰好第一次 能被72整除，问这个自然数是多少？
分析与解：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻
找。
如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是
8的倍数。
因而依次看三位数
234，456，678，810，112，314，516，718，192 ，920，202，212，122，
222，232，324，242，252，526，262，2 72，728，282，930，132，334，536，
738，394„中哪些是8的倍数。
如知456、112为8的倍数，就要再看123456以及1112是否为
9的倍数。由 于123456的数字和为21，1112的数字和为56，都不
是9的倍数，所以不满足题目的条件。 满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。
象这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8 整除的数一定能被
4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。
经 检验，形如123456„，末三位为516，192、920，232、272、728的自然
数都不 是9的倍数。而当末三位为536时，才满足题目的条件，即
1112„33343536
恰被72整除，故所求自然数为36。
现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数
1112„18192021„前九个数 字之和为45，是9的倍数，故在考察位
数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；
接下来，由于161718的数字之和为45，是9的倍数，故在考
察位数超过27位的数是否被9整除 时，前27个数字可不再看；
1926的数字之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过43
位的数是否是9的倍数时，前43个数字可不再看；
272829303的数字的之和为 36，是9的倍数，因而在考察位数超过52位的
数是否被9整除时，前52个数字可不再看；
1323的数字和为9，因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时，前56
个数字可不再看；
33343536的数字和为27，因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时，
前6 3个数字可不看。
以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9
的倍数，即
1 23456789｜161718｜1926｜27｜2829303｜
132333435｜36｜„
然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。
789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但536是8的倍数。
即写到36时，第一次恰好是72的倍数。
这样做比先考虑被8整除，后考虑被9整除要快速简单得多。
习题十二

1．一个数是任何自然数的倍数，问这个数是几？一个数是任何自然数的约
数，问这个数是几？
2．四位数5□5□能被5、6、7整除，问这样的四位数应该是多少？
3．写出能被3、4、5整除的最大三位数和最小的四位数。
4．一个无重复数字的五位数3□6 □5，千位与十位数字看不清了，但知这
个数是75的倍数。问这种五位数有哪几个？
5．求一个能被11整除且首位数字为7，其余各位数字各不相同的最小六位
数。
6．六位数□1993□能被33整除，这样的六位数是多少？
7．前若干个自然数1，2，3„的乘积的最末13位数都是零，问最后一个自
然数最小应该是多少？
8．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得三位数比原数大8倍。求
这个两位数。
9．从1，2，3，4，5中任取三个数，组成没有重复数字的三位数，在这些
三位数中找 出能同时被2和9整除的数来。
10．四个小朋友恰好一个比一个大1岁，他们年龄的乘积等于3024。问这
四个孩子年龄各是多少？