整除问题(已)

温柔似野鬼°
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2021年01月15日 10:03
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十朵玫瑰代表什么-望月有感白居易

2021年1月15日发(作者:俞仁夫)






整除问题(已)






















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一、 生活知识
(一)基本概念:
a÷b=c (a b c都是整数)a能被b整除 b能整除a
(二)相关知识:
1、能被2 整除的数特点:个位是0 2 4 6 8
2、能被3的整除数特点 :各个数位的数之和能被3整除,数字就可以被3整除,反之就不
行。
3、能被4 整除的数特征:末两位的数能被4整除,就可以被4整除,反之不行。
4、能被5 整除的数特点:个位是0 5
5、一个数末三位与末三位以前数的差如果能被7 整除,那么这个数就可以被7 整除。
6、能被8整除的数特征:末三位的数能被8整除,就可以被8整除,反之不行。
7、能被9的整除数特点:各个数位的数之和能被 9整除,数就可以被9整除,反之就不行。
8、能被11整除的数特征:
(1)如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大 减小)能被11整除,那么它
一定能被11整除。
(2)一个数末三位与末三位以前数的差如果能被11整除,这个数就可以被11整除。
9、一个数末三位与末三位以前数的差如果能被13整除,那么这个数就可以被13整除。
10、一个数的末两位能被25整除,这个数就能被25整除。
11、一个数的末三位能被125整除,这个数就能被125整除。
12、a÷(c×d×e)=( a÷c)×( a÷d)×( a÷e)
二、新知识
(一)基本类型:

(二)七十二“变”
第一类型:关于“填数字”的整除问题
第一分类:关于“简单”的填数字
56( )( )在括号里填什么数可以是9的倍数.

第二分类:关于“同时被三个数整除”的填数字
33( )( )能被5,9,25整除。


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第三分类:关于“同时被多个数整除”的填数字
( )254( )能被2、3、4、8、9整除。

第二类型:关于“拆分”的整除
1、4A7343B能被88整除,求A和B?

第三类型:关于“应用”的整除
1、五年级甲班数学其中考试成绩平均分是90分,总分是a32b,这个班有多少个人?

第四类型:关于“加上或者减去XX就能被xx整除”的整除问题
1、个自然数与4的和是6的倍数,与4的差是8的倍数,这样的自然数最小是( 20 ).

第五类型:关于“推理”的整除
1、有一个三位数,如果加上1就能被5整除,如 果加上3就能被2整除,如果加上5就能被
3整除,这样的三位数最大是( )。

第六类型:关于“最小公倍数”的整除
1、1-1000中能同时被2 3 5整除的数有多少个?

第七类型:关于“倍数”的整除问题
1、商店里有六箱货物,分别重15 16 18 19 20 31千克,两个顾客共买走 了其中五箱。
已知一个顾客买的重量是另一个顾客的2倍。问商店剩下的货物重多少千克

第八类型:关于“同时被x y整除,又不能被z整除”的整除问题
1、1-500中, 能同时被2 3整除,又不能被7整除的数有多少个?

第九类型:关于“可能性”的整除问题
1、从1 2 3 4„49 50这50个数字中,随意取若干个数字,是任意两个数的和都不能被
7整除,最多可以有多少个?
读题:从余数的角度考虑:1-50中除以7的余数为1 2 3的数字共有22个,都取出来,
再从1-50中取出一个7的倍数的数,共23个数

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三、 名校赏析
第一类型:关于“填数字”的整除问题
1、一个四位数106( ),同时被2和3整除,那么( )是多少?

2、一个五位数8( )35( ),如果这个数字能同时被2 3 5整除。

3、四位数56()2中,能被4 8 9整除,括号是多少?

4、如果6位数1992( )()能被105整除,那么它的最后两位是( )

5、947后面添3个不同的数字,组成一个被2 3 5同时整除的最小的六位数,这个数()。

6、在298后面补上一个三位数,使这个六位数能被476整除。

7、173□是个四位数字.数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四
位数,依 次可被9、11、6整除。”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

8、有一个号 码是六位数,前四位是2857,后两位记不清,即2857□□.但是我记得,它能
被11和13整除 ,那么这个号码是_________.

9、一个算式2×( )()()=( )()( ),在括号填234567这几个数字,使等式成立。但
要使积是13的倍数,这个积是( )


第二类型:关于“拆分”的整除
1、小马买了52支钢笔,可是发票不慎落水,单价无法辨认,总价数字不全,只能认出( )
86.0( )元,括号应填什么?

2、动物园有12只猴子,为了了解猴子的 而生长状况,管理员给它们称了总体重,还有平均
体重。不巧这张纸被一只猴子撕破了,只能隐约看到平 均体重()1.8()()千克,总体重
5()2.18()千克。管理员看了剩下的字迹,很快推出所 缺的数字。你能推出来吗?



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3、一本账本记载,老王买了72只桶,共用去()67.9()元,请将数字补上。
4、将1-9九个数字写在一张纸条上,将它剪成三段,每段数字连在一起算一个数,把这三个
数相 加,使和能被77整除,那么中间一段是
(1-9的和是9的倍数,77×9=693 693×3=2079 1234+56+789=2079)


第三类型:关于“应用”的整除
1、方成一排的2008个盒子,共有4016个小球,其中 最左端的盒子放了a个小球,最右端得
盒子放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子的小球数共有24 个,则(c )
A、a=1 b=2 B、a=b=1 C、a=b=2 D、a=2 b=1

2、在两位数中,能被其各个数字之和整除,而且除的商恰好是4的数有多少个?

3、饭店有两种餐桌:方桌可坐4人,圆桌可坐9人。就餐的人数如果刚好坐满若干张圆桌和
方 桌,就称为发财数,1—98中,有( )个这样的发财数。



第四类型:关于“加上或者减去XX就能被xx整除”的整除问题
1、自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数最小是( )

第五类型:关于“推理”的整除
1、各数位上的数字之和是7倍数的两位数有( )个。

2、一个两位数加上3是能被5整除,减去1能被2整除,这个两位数最小是多少?(17)

3、有一个三位数,如果加上1就能被5整除,如果加上3就能被2整除,如果加上5就能被
3整除,这样的三位数最大是( )。

4、有这样的一个数,:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的

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倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,这样的数除了1以外,最小是(421)

5、一堆苹果,2个2数剩一个,3个3数剩2个,4个4数剩3个,5个5数剩3个,6个6
数剩5 个,求这堆苹果共多少个?

6、在1997后面补上三个数字,组成一个七位数1997□ □□,如果这七位数能被4、5、6整
除,那么补上的三个数字的和的最小可能值是_________ 。

7、在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),如图44。小明像玩跳棋那样,从A 孔出发沿
着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步,< br>结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步,
正好跳 回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?


8、一小、二小两校春游的人数 都是10的整数倍。如果两校都租用有14个座位的旅游车,则
两校共需租用这种车72辆;如果两校都 租用19个座位的旅游车,则二小要比一小多租用这
种车7辆。现在知道两校人员不合乘一辆车,且每辆 车尽量坐满。问,两校参加这次春游的
人数各是多少?



9、 已知三个连续自然数,它们都小于2002,其中最小的一个自然数能被13整除,中间的一
个自然数能 被15整除,最大的一个自然数能被17整除。那么,最小的一个自然数是 。

10、有一个四位数,千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了,知道十位上的数字是1,个
位 上的数字是2,又知道这个数如果减去7就能被7整除,减去8就能被8整除,减去9就
能被9整除,这 个四位数是_____。


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11、 用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字组成三个三位数(每个数字只用一次),使其
中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小;次大的三位数被3除余1;最小的三位数能
被 3整除。那么,最大的三位数是________。

14、小明的两个口袋中各有6张卡片 ,每张卡片上分别写着1,2,3,„„,6。从这两个口
袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘 积,那么,其中能被6整除的不同乘积有_____
个。


15、一个三 位数能被9整除,去掉它的末位后,所得的两位数是13的倍数,这样的三位数中,
最大是几?



16、有三个连续的自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被1 7整除,最大的能被19整
除,写出这样的三个连续自然数。



17、一个四位数,能被45整除,千位数字与个位数字之积等于20,百位数字与十位数字组
成的二 位数是9的4倍。求这个四位数。


18、有一个四位数,它的各位上的数字相 加的和能被17整除。将这个四位数加上1,所得和
的各位上的数字相加的和也能被17整除,这个四位 数最小是( )。


第六类型:关于“最小公倍数”的整除
1、1-1000中能同时被2 3 5整除的数有多少个?

2、一个大于0的自然数,用3 8 10去除都能整出,这个数是多少?

3、能同时被3 5 11整除的最小四位数是多少?


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4、100以内能同时被2 3 5整除的正整数共有( )个。

5、一个三位数既是2的倍数,又能被7整除,而且5又是它的约数,这个三位数最小
是( )

6、有一个电子钟,每走9分钟亮一次灯,每到整点响一次铃。中午12点整, 电子钟响铃又
亮灯。问:下一次既响铃又亮灯是几点钟?

7、有一个三位数,它同时被2 3 7整除,这样的三位数中,最大一个减去最小一个差是
( )。

8、如果各位 数字都是1的某个整数能被33333整除,那么整数中1的个数最少有________
个。

9、某住宅区有十二家住户,他们的门牌号分别是1,2,3,...,12。他们的电话号 码依此
是十二个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除。已知这些电话
号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的
电话号码 是什么数?

9、在100至200之间,有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中 间的能被5整除,
最大的能被7整除,写出这样的三个连续自然数。

10、差为2 的两个整数,如果每个数的各位数字之和能被7整除,我们就称它们为一对幸运
数.请你在100至20 0的范围内找出一对幸运数,它们是________和________。

11、将自然 数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1999位数,试问:这个
数能否被3 整除?



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12、173□是 个四位数字.数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四
位数,依次可被9、11 、6整除。”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
(1)在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
第七类型:关于“倍数”的整除问题
1、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取 3张,乙取2
张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍,则丙手
中卡片上的数是_________。

2、八个盒子,各盒内装奶糖分别为9,17,24,28, 30,31,33,44块。甲先取走了 一盒,
其余各盒被乙、丙、丁三人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的两倍。问:甲
取走的一盒中有多少块奶糖?

3、商店里有六筐水果,分别装有香蕉和橘子,分别重8 9 16 20 22 27千克,当天只
卖了一筐橘子,剩下的五筐中香蕉的重量是橘子重量 的2倍。问商店进了多少千克香蕉?

第八类型:关于“同时被x y整除,又不能被c整除”的整除问题
1、1-2000中,能同时被2 3整除,又不能被5整除的数有多少个?


2、1-2001中能被37整除,但是不能被2或3整除的数的个数有多少个?
挖宝:因为37是质数,只要在1-54中找出2 3整除的数就可以了:27个能被2整除
18个能被3整除
9个既能被2又能3整除54-
(27+18)+9
3、1-500中,不能被2 也不能被3整除,又不能被7整除的数有多少个?


4、1-2001这些数中,有的能被3整除,有的能被23整除,有的能被29整除,那么不能被3
23 29整除的数共有多少个?

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读题:减掉能被3 23 29整除的数就可以
挖宝:能被3整除为667个 既能被3又能被23有29个 既能3 23 29有1个
能被23整除为87个 既能被3又能被29有23个
能被29整除为69个 既能被23又能被29有3个
5=667+87+29-(29+23+1)+1=769


6、2000盏灯都是亮着的,各有一根拉线控制。现在按顺序编号为1 2 3 „1999 2000
。然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将5的倍< br>数的灯线拉一下。三次拉完后,亮的灯有几盏?
读题:亮或者灭要看拉灯的次数 偶数次为亮 奇数次为灭
2000
挖宝:拉了3次:=66
235
2
拉了2次:++-3×66=932
232553
2
拉了1次:++-2×拉了2次的所有之和-2×拉了3次所有之和
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7、50名学生面向老师站成一行,按老师口令从左至右顺序报数:1,2,3,„„。报完后,
老 师让所报的数是4的倍数的同学向后转。接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转。问:
现在仍然面向 老师的有多少名同学?


8、 有15位同学,每位同学都有编号,它们是1 号到15号。1号同学写了一个自然数,2号
说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除” ,„„,依次下去,每位同学都
说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两 位同学说得不对,
其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?( 2)如
果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)
9、十位数abc defghij,其中不同的字母表示不同的数字。a是1的倍数,两位数ab是2的
倍数,三位数ab c是3的倍数,四位数abcd是4的倍数„„十位数abcdefghij是10的倍数,
则这个十位 数是___________



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第九类型:关于“可能性”的整除问题
1、从1 2 3 4„99 100这100个数字中,随意取若干个数字,是任意两个数的和是6的
倍数,有多少种不 同的取法?(817)
读题:除以6的余数为0 1 2 3 4 5
挖宝:


2、从1 2 3 4„999 1000这1000 个数字中,随意取若干个数字,是任意两个数的和是
18的倍数,有多少种不同的取法?
读题:整除18的数有55个,
挖宝:整除9的数有56个



3、从1 3 5 7„97 99最多可以选出多少个数,使他们当中的每一个数都不是另一数的
倍数?
读题:从3的倍数 入手,3的35倍为105太大,去掉3的33倍数以前的数,余下的就是答
案,即从50中划去1 3 5„31 33,最多为50-17=33
拉了1次和3次的灯灭了



4、1到2000这2000个数中,最多可取出 个数,使得这些数中任意三个数的和都不能被
7整除。



5、 从1、2、3、……49、50这50个数中,取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7
整除,最 多可取_____个数。

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