几何体结构素描-幸福的定义

能被整除的数的特征
Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

个 性 化 教 学 辅 导 教 案

学生

学校

年级

时段



科目

次数



教师


课题

日期


能被4、8、9整除的数的特征

教学
重点：能被4，8，9整除的数的特征

重点

难点：能被4，8，9整除的数的特征

难点

教

一、作业检查：

学

二、课前热身：

步


三、内容讲解：

骤

数的整除具有如下性质：

及

教

性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整
学

除。

内

容

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如 果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被
这个自然数整除。例如，21与15 都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3
整除。

性质3 如果一个数能 分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两
个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被 9整除，又能被7整除，且9与7
互质，那么126能被9×7＝63整除。

利 用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一
步学习数的整除性，我们把学过 的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能
被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3
整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4
（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么 这个数就能被8
（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9
整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习
的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4
（或25） 整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之
和，所以由整除的性质2知，只要这 个数的后两位数能被4（或25）整除，这个
数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

837＝800＋30＋7

＝8×100＋3×10＋7

＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7

＝8×99＋8＋3×9＋3＋7

＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

因为99和9都能被9整除，所以 根据整除的性质1和性质2知，（8×99＋
3×9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋ 7）能被9整除，就能判断
837能被9整除。

利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：能被4整除的数有7756，3728，8064；

能被8整除的数有3728，8064；

能被9整除的数有234，8865，8064。

例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被
9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么

5＋6＋□＋2＝13＋□

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

如果5 6□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，
即四位数是5632或5672 时能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1， 3，
5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据
整除 的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否
被6整除，因为6＝2×3， 2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3
整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6 整除。同理，判断一个数能
否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被7 2整
除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。

例3 从0，2，5， 7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并
将这些数从小到大进行排列。

解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被
3整除的特征 ，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为
270，570，720，750 。

例4 五位数
分析与解：已知
能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

能被7 2整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以
能既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的 数的特征，要求
被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，
之和为

A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

的各位数字
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整 除，所
以A＝7。

解答例4的关键是把72 分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征
去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先 确定B所代表的数字，因为B
代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代 表的
数字就容易确定了。

例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？

分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所 以这个整数既能被2整除又能被3
整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值 。再由六位数
能被3整除，推知

3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以
取4个值， A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5
×4＝20（个）。

例6 要使六位数
么数字？

分析与解：因为36＝4×9，且4与9互 质，所以这个六位数应既能被4整除
又能被9整除。六位数
1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量
的各位数字
能 被4整除，就要能被4整除，因此C可取
能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数
之和为12＋B＋C。它应能被9整 除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽
量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5， 7，9，所以要使
应取B＝1，C＝5。

当A=0，B=1，C＝5时，六位数 能被36整除，而且所得商最小，为150156÷
36＝4171。

四、课堂小结

【知识归纳】

数的整除具有如下性质：

性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整
除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被
这个自然数整除。


尽可能小，

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然 数整除，那么这个数一定能被这两
个互质的自然数的乘积整除。

能被4，8,9整除的数的特征：

（1）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4
（或25）整除。

（2）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8
（或125） 整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9
整除。

（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

五、作业布置

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3．一些四位数，百位上的数 字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能
被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最 小的各是多少？

4．
五位数能被12整除，求这个五位数。

5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？

6． 从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整
除的没有重复数字的四位数？

7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。

8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到
是□67.9□元，你知道 每只小足球多少钱吗？