三生三世枕上书下卷-小学班级公约

整除数的性质和规律
一、整除性质
1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；
2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；
3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；
4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；
5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律
⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数
一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除
个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：
一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除
3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）
∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）
∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849„„2
又如：判4212、5282能不能被9整除
4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）
∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）
∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余
数是多少。
如：判断7485能不能被9整除
7+4+8+5=24→2+4=6
各位数字继续相加
从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以 7485这个数
不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：
7485÷9=831„„6

1

能被9整除的数，一定能被3整除。能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数
既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①. 首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第
一个条件。如果这个数不 是偶数，那就排除了能被6整除的可能。
②.然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的 和是不是3的倍数，如
果是3的倍数，这个数就能被6整除。
例如：判断654能不能被6整除
654是偶数，能被2整除；654各位数字的和是6+5 +4=15，15是3的倍数，
因此，654能被6整除。
又如：判断274能不能被6整除
274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此274不能被6整除。
⑹、能被4或25整除的数
一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。
例如：4750=47×100+50
928=9×100+28
3800=38×100
因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25 整除，因此百位以前的
数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个 数就一定
能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），< br>这个数就一定能被4或25整除。
4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4 整除，4750只能被25整除，
而不能被4整除。
928的末两位数是28，28能被4整 除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而
不能被25整除。
3800的末两位数都 是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能
被25整除。
⑺、能被7整除的数
判断一个数能不能被7整除，不像判断一个数能不能被2、5、3整除那 佯，根据这
个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。
割减法的过程是这样的 ：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去
数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除 。如果差太大或心算不易看出是否7
的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到 能清楚判断为止。
例1：判断3164能不能被7整除

2

316-4×2＝308，30-8×2＝14
因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。
检验：3164÷7=452
对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。
如：判断133是否能被7整除
13-3×2=7,所以133是7的倍数。
⑻、能被11整除的数
判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没 有直接判断的
方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位< br>差法。
①.割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最
后结果是11的 倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11
的倍数，那么这个数就不能被1 1整除。
例如：4708„„割去末位8
470-8＝462，46-2＝44
∵44是11的倍数，∴4708能被11整除。
又如：判断891和1007能否被11整除
89-1＝88，88是11的倍数
100-7＝93，93不是11的倍数
通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。
在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。
②.奇偶位差法：把一个整数奇位上 的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们
的差（用大数减小数），如果这个差是11的倍数（包括0 ），那么原数就一定能被
11整除。（一个整数的个位、百位、万位、„称为奇数位，十位、千位、百万 位„„称
为偶数位。）
例1：判断283679能不能被11整除。
奇位上的数之和：8+6+9＝23
偶位上的数之和：2+3+7＝12
23-12=11
因此，283679能被11整除。
例2：判断480637能不能被11整除。
奇位上的数之和：8+6+7＝21
偶位上的数之和：4+0+3＝7

3

21-7=14
因此，480637不能被11整除。
上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。
9÷9=1 9÷11（不能整除）
99÷9=11 99÷11=9
999÷9=111 999÷11（不能整除）
9999÷9=1111 9999÷11=909
99999÷9=11111 99999÷11（不能整除）
999999÷9=111111 999999÷11=90909
„„„„
由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11
则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被
11整 除。
当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。
如：11÷11=1
1001÷11=91
300003÷11=27273
„„
通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不能被11整除，从中也可以进一步理解这< br>种判断方法的算理。
8712=8000+700+10+2①
偶位上的数可以写成：
8000=8×1000=8×（1001-1）②
10=1×10=1×（11-1）③
奇位上的数可以写成：
700=7×100=7×（99+1）④
把②③④式代到①式中去。
8712＝8000+700+10+2
＝8×1000+7×100+1×10+2
＝8×（1001-1）+7×（99+1）+1×（11-1）+2
＝（8×1001+7×99+1×11）-（8-7+1-2）
＝11×（8×91+7×9+1）-（8-7+1-2）
第一个括号中所得的结果，肯定能 被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二
个括号中所得的数.

4

而第二个括号中的数8-7+1-2＝（8+1）-（7+2），恰恰是奇数位上数字之和减去 偶数
位上数字之和的差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。
实际上 ，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字
和的差被11除所得的余数 。
同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。
如186这 个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和
为6＋1＋8，偶数位数 字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。奇
数位数字和为c＋a＋b，偶 数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，象这样由三位数连
写两次组成的六位数是否能被7整除呢？
如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。能否不做186186÷ 7，
而有较简单的判断办法呢？
由于186186＝186000＋186
＝186×1000＋186
＝186×1001
而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。
这就启发我们考虑，由于 7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则这个数必
被7整除，也被11和13整除。
或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11
或1 3）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。
如判断2839704是否被7整除？
由于2839704＝2839000＋704
＝2839×1000＋704
＝2839×1001－2839＋704
＝2839×1001－（2839－704）
∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704能被7整除；2135不是11或13 的
倍数，所以2839704不能被11或13整除。
实际上，对于283904这样一个七 位数，要判断它是否被7或11或13整除，只需将
它分为2839和704两个数，看它们的差是否被 7或11或13整除即可。
又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两 个数，只要看952－42
＝910是否被13整除即可。由于910＝13×70，所以13能整除4 2952。
一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
另法 ：将一个多位数从后往前数，三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数
段各三位数之和的差若被7 （11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

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如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为 728－546＝182＝7×26＝7×2×13
⑼、能被13整除的数 一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种
间接的方法是： 一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差
如果能被13整除，那么原来的这个 多位数就能被13整除。
例如：判断383357能不能被13整除
383357这个数的 末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之
差是383-357=26。
∵26能被13整除，
∴383357也能被13整除。
又如：判断35062能不能被13整除
35062这个数的末三位数是62，末三位以前的 数字所组成的数是35，这两个数之差
是：62-35=27。
∵27不能被13整除，
∴35062也不能被13整除。
这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。
⑽、能被8或125整除的数
一个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或12 5整除。具体地说，一
个数的末三位数是0或是8的倍数，就能被8整除；一个数的末三位数是0或是1 25
的倍数，就能被125整除。
例如：2168、32000、1875，3个数中，21 68的末三位数是168，168是8的倍数，
所以2168能被8整除。1875的末三位数是875 ，875是125的倍数，所以1875能被125
整除。32000的末三位数都是0，所以3200 0既能被8整除，又能被125整除。
这种根据一个数末三位数来进行判断的方法，其算理是：任何一 个三位以上的多位
数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。
例如：9864=9×1000+864
56750=56×1000+750
93000=93×1000
1000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8 和125整除，因此，一个数末
三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能 被8或125整除。
看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：
①.先看末位数 是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍
数永远是偶数。

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②.如果是偶数，用8去除末三位数，看所得的商是8的倍数，这个数就能被8整除。
由于125本身就是三位数，在所有的三位数内，125的倍数只有有限的几个（125、
25 0、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟记这几个数据，就可以准确、迅速地进行判断了。
⑾、能被17整除的数
判断一个数能不能被17整除，也没有直接的 方法，间接的方法也使用“割减法”。
不过这里使用的割减法与判断一个数能不能被7整除的割减法不完 全一样。它也是先割
去原来数的末位数字，然后再从留下来的数中减去割去数字的5倍，如果差是17的
倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上
述「截 尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如：判断9894能不能被17整除
989-4×5＝969，96-9×5＝51
最后结果是51，51能被17整除，所以9894能被17整除。
又如：判断8765能不能被17整除。
876-5×5＝851，85-1×5＝80
由于80不能被17整除，因此，8765不能被17整除。
这种判断一个数能不能被17整 除的割减法的算理是：先割去末位数字，实际上是减去末
尾数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的5 倍，实际上又减去了所割数字的50倍，
加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51= 17×3，51既是17的倍数，
减得的结果是17或是17的倍数（包括0），都证明原来这个数一定 能被17整除，反之，
则不能。
如果要求判断的数不大，判断过程也完全可以用口算进行。
如：判断782和693能不能被17整除。
78-2×5＝68
69-3×5＝54
从上述口算过程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。
⑿、能被12、15、18、45整除的数
判断一个数能不能被12、15、18、45整除 都没有直接的方法，可以按照前面提到的
判断被6整除的做法，从而找出一个间接的方法来。
①.怎样判断一个数能不能被12整除。
一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定 能被12整除。判断被3和4整
除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条 件,这个数就一
定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，< br>这个数就一定能被12整除。

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例如：判断3084能不能被12整除
3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，
15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。
检验：3084÷12=257
又如：判断4734能不能被12整除。
4734 的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34
不是4 的倍数，所以4734不能被12整除。
检验：4734÷12=394„„6
②.判断一个数能不能被15整除。
一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被 15整除。即：一个数的各
位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。
例如：判断8715能不能被15整除。
8715的各位数字的和是8+7+1+5=21， 21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以
8715这个数能被15整除。
检验：8715÷15=581
③.判断一个数能不能被18整除。
一个数既能被 2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末
位数字是0、2、4、6、8的数 ，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被
18整除。
例如：判断52416能不能被18整除。
52416的末位数字是6，能被2整除，而52 416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18
又是9的倍数，因此，52416一定能被1 8整除。
检验：52416÷18=2912
④.判断一个数能不能被45整除？
一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数
的末位数字是5或 0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45整
除。
例如：判断98865能不能被45整除。
98865的末位数字是5，可以被5整除，98 865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36
又是9的倍数，因此，98865一定能被4 5整除。
检验：98865÷45=2197
使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个 问题，即：一个数所分解的两个数，
这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。
例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2与6并不是互

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质数，且6=2×3，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整 除的数就能被12
整除的错误结论。
如果18=3×6，3与6这两个数也不是互质数，6又 可以分解成2×3，这样，3又重
复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6整除的数就能被18整 除的错误结论。事
实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整 除。
⒀、能被19整除的数
把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2 倍，如果差是
19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要< br>继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如：608能否被19整除？
60+8×2＝76，7+6×2＝19
∵19能被19整除
∴608能被19整除
检验：608÷19＝32
⒁、能被23或29整除的数
判定一个数能否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开 ，看末四位与前面
隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。
例：24196能否被23整除？
24196：4196-2×5＝4186，
因为4186能被23整除，所以24196能被23整除。
⒂、能被73或137整除的数
若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除
若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除
⒃、3个连续数相乘的积一定是6的倍数？
三个连续数相乘的积一定是6的倍数，这决定于自 然数列的排列规律。因为在自然
数列里，所有的偶数都是2的倍数，也就是每隔一个数必是一个2的倍数 ，而每隔两个
数，必是3的倍数。
无论从任何一个数开始，三个连续数中，必定有2和3的倍 数，而2与3的乘积是6，
所以在三个连续数的乘积里，必定有6的倍数。或者说：三个连续数相乘的积 一定是6
的倍数。
例如：14、15、16三个连续数。
这三个连续数中，14和 16是2的倍数，15是3的倍数，因此，这三个连续数相乘
的积，一定是6的倍数。14、15、16 相乘积是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。
说明：两个数字中的“|”表示整除，如2|4表示2能整除4，或4能被2整除。

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