3.整除的特征和性质
浪漫语句-海南岛风景
☆☆☆☆☆黄冈 杨老师数学 五年级下册数学培优、奥数 精讲精练
§3.整除的特征和性质
☆黄冈 杨俊涛
◆知识引领
●整数a除以整数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说
b能整除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。如12÷3=4，就说12能被3整除，或者说3能
整除12，12是3的倍数，3是12的因数。
●一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的倍数的个数是
无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
●能被2，3，5等整除的数的特征：
2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数；
5的倍数特征：个位上是0，5的数 ；
3或9的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3或9整除；
4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除；
8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除；
11的倍数特征：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（或反过来）是11的倍数；
7、11或13的倍数特征：末三位前的数与末三位数的差（或反过来）能被7、11或13整除。
●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
◆典型例题
例1.下列哪些式子是整除式？
（1）8.8÷1.1=8
（2）130÷10=13 （3）29÷7=4„„1 （4）14÷5=2.4
【解析
】根据整除的定义，被除数和除数必须是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有
（2）式才是整
除式。
疯狂操练1
下列式子哪些是除尽，哪些是整除？
（1）7.5÷1.5=5 （2）32÷5=6.4 （3）8÷3=2„„2
（4）15÷5=3
例2.写出24的因数和倍数。
【解析】因为1×24=24 2×12=24 3×8=24 4×6=24
所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24
因为24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96„„
所以24的倍数有24，48，72，96„„
疯狂操练2
写出36的因数和倍数。
1
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例3
.500位同学站成一排，从左到右数“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，向
左看
齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只有两位同学了，这两位同学在开始的
队伍中位于从左
到右的第几个？
【解析】第一次报数留下的人是3，6，9，12，„„恰好是3的倍数。
第二次报数留下的人是9，18，27，„„恰好是9的倍数。
第三次报数留下的人是27，54，81，„„恰好是27的倍数。
第四次报数留下的人是81，162，243，„„恰好是81的倍数。
第五次报数留下的人是243，486号同学。
答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。
疯狂操练3
从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1
至11报数,报数为11的同
学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报
数为11的留下,其余同学
出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余
同学出列,那么最后留下
的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____ 号.
例4.在六位数568□□□的方框中填入三个数码，使这个六位数能被3，4，
5整除。求满足条件
的最小的六位数。
【解析】设六位数为568ABC，因为六位数分别是3，4，5的倍数，所以：
（1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数，即A+B+C被3除余2。
（2）BC 是4的倍数。
（3）C=0或5。
由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。
由于要求最小的六位数，所以A从最
小数开始实验，有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六
位数为568020。
疯狂操练4
五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又有因数5？
例5.六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？
【解析】因为能同时被2和3整除，所以A可取0，2，4，6，8；
又因为各位数字之和是3A+3+2B=3×(A+1)+2B可知B可取0，3，6，9。
所以共有5×4=20个六位数。
2
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疯狂操练5
已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍，求这个两位数。
例6.能同时被2、3、5整除的最大三位数是 .
【
解析】要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,
这个
数是990.
疯狂操练6
能同时被2、5、7整除的最大五位数是
.
例7. 所有能被3整除的两位数的和是
.
【解析】能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:
12,15,18,21,„，96，99 这一列数共30个数，其和为
12+15+18+„+96+99
=(12+99)
30
2
=1665
疯狂操练7
1至100的数中所有不是3的倍数的数之和是
.
例8.
从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样
的三位有多少个？
【解析】被2和3整除，个位上的数字一定是0，被3整除各位数字之和必定是3的倍数，得
570和750.
疯狂操练8
有0、1、4、7、9五个数字，
从中选出四个不同数字组成不同的四位数，如果把其中能被3
整除的四位数从小到大排列起来，第三个数
是多少？
3
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◆延伸课堂
1、用0、2、6、5四个数字组成符合要求的数。
（1）72的因数有：
（2）13的倍数有：
（3）120的因数有：
（4）25的倍数有：
2、选择。（把正确答案的序号填在括号里）
（1）在1一25这些数中，既是2的倍数，又有因数3的数共有（ ）个。
A、4 B、3 C、2
D、1
（2）要使四位数
69□0
能同时被2、3、5整除，□里能填的数字有（
）个。
A、2 B、3 C、4
D、无数
3、四位数“3
AA
1”是9的倍数，那么
A
=_____.
4、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.
5、从1到100的自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
6、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、
5整除的四位数，其中最大的是_____ .
7、123456789□□,
这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.
8、
500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从
右
到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？
4