落花生-孝道名言

数的整除



一、
六年级奥数整除问题


当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除 或b整除a，也把a叫做b的倍
数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称 a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.

二、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数 字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除
；
4. 如果一个 整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11
或1 3整除；
5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；
6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数 都有
两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这 个
数一定是99的倍数。
7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整
除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上 述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，
直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如 下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又
例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 －9×2＝595 ，
59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8. 若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整
除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程
， 直到能清楚判断为止。
9. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果 差是17的倍数，则原数能被17
1 14

整除。如果差太大或心算不易看 出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过
程，直到能清楚判断为止。
10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原 数能被19
整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验 差」的过
程，直到能清楚判断为止。
11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.
13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

三、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果
b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；

四、其他重要结论
1、 能 被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被
2
(或
5
)整除的数，本身必能被
2
(或
5
)整除；反过来，末n位数不能被
nn
nn
2n
(或
5
)整除的数，本身必不能被
2
n
(或
5
)整除。例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，
只需考虑未四 位数能否被16（因为16=
2
）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。
2、 利用连续整数之积的性质：
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除；
任意三个连续 整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也
可被3整除，所 以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3、 一个奇位数 ，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍数
4
nn
2 14

。
4、
711131001；
abc1001abcabc
，
abcabc
这样的数一定能被7 、11、13整除。
5、
91137;133197;4813713;13 9117;373111;3727999
等等。


数的整 除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学
好数的整除 问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。



【例 1】
975935972□
，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最 小应填什么数？











【例 2】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知 这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么
最后出现的自然数最小应该是多少？






从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
201202203 LL300
的结果除以
10
，所得到的商再除以
10
……重复这 样的操作，在第____次除
以
10
时，首次出现余数.






3 14

【例 3】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？

















【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4
□
32
□
是9的倍数.
请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。
















一个六位数
2口口727
被3除余l，被9除余4，这个数最小是 。
用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。这三个三位数中最 小的一
个最大是 。
4 14

【例 5】 连 续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：11……20072008
，请说明 ：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？

















【例 6】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数 字之间剪开，分别按顺时针和
逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857
和
758624391
)．如
果要求剪开后所得到的 两个九位数的差能被
396
整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
7
5
8
6
2
4
1
9
3
11121314… 20082009除以9，商的个位数字是_________ 。









三、7、11、13系列
207，
2007
，
20007
，
L
等首位是
2，个位是
7
，中间数字全部是
0
的数字中，能被
27
整 除而不被
81
整除的最小数是 。
5 14

【例 7】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4 位数的和是以下5个数的
一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两 个4位数的和到底是多少?















【例 8】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：
8ab8ab8 ab8ab8ab
是77的倍数，则
ab
最大为_________?
5a bL
4
L
4
5
3
ab
1
ab
4< br>5
42
2009个5ab
.如果此数能被91整除，那么这个三位数
5 ab
是多少？









称一个两头（首位与末尾）都是
1
的数为“两头蛇数”。一个 四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两
位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数 ”是 。（写出所有可能
）






6 14

【例 9】 学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组 成的三位数除以这三个数字的和，所得结果
就是我的年龄。”老师今年 岁。















【例 10】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成 一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端
构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原 先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；
②9867；③9462；④9696；⑤9869 .这两个4位数的和到底是多少?













【例 11】 在六位数 11
□□
11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两< br>位数是多少?
一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是________？
已知两个三位数
abc
与
def
的和
abcdef
能被 37整除，试说明：六位数
abcdef
也能被37整除．
7 14

【例 12】 若
4b2cd32
，试问
abcd
能否被8整除?请说明理由．






证明
abcde
能被6整除，那么
2(abcd)e
也能被6整除．






【例 13】 甲、乙两个三位数的 乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10
，乙数的数字和为8，那 么甲乙两数之和是_________．







8 14
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的 6位数，那么，这个6位数除以667的结果
是多少？

有5个不同的正整数，它 们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．
【例 14】 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的< br>六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小
于 6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？






用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8 、9拼成一个十位数。要求前1位数能被2整除，前2位数能被3整除
，……，前9位数能被10整除． 已知最高位数为8．这个十位数是








【例 15】 在六位数
ABCDEF
中，不同的字母表示不同的数字，且满足
A
，
AB
，
ABC
，
ABCD
，
ABCDE
，
ABCDEF
依次能被 2，3，5，7，11，13整除．则
ABCDEF
的最小值是 ；已知当ABCDEF
取得最大值时
C0
，
F6
，那么
AB CDEF
的最大值是________．






9 14

有一个九位数
abcdefghi
的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数
ab
可被2整除，三位数
abc
可被3整除，四位数
abcd
可被4整除，……依此类推，九位数
abcdefgh i
可被9整除．请问这个九位
数
abcdefghi
是多少？







【例 16】 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是 ．









a
，
b
，
c
，
d
各代表一个不同的非零数字，如果
ab cd
是
13
的倍数，
bcda
是
11
的倍数，cdab

是
9
的倍数，
dabc
是
7
的倍数，那么
abcd
是 。





【随练1】 若9位数2008
□
2008能够被3整除，则
□< br>里的数是__________






【随练2】 六位数
20□□08
能被99整除，
□□
是多少？


10 14

66L
3
6?55L
3
5
1212
【随练3】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数
？






【随练4】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式:
12345679()□□□□□□□□□
,然后说道:“只要同
50个650个5可被7整除
学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数，我在括号里填上 适当的乘数，右边的积一定全
由你喜欢的数字组成。”小明抢着说：“我喜欢3。”王老师填上乘数“2 7”结果积就出现九个3；
12345679(27)333333333
小宇举手说：“ 我喜欢7。”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个7
：
12345679(63) 777777777
，小丽说：“我喜欢8。”那么算式中应填上的乘数是 .





【随练5】 有四个非零自然数
a,b,c,d
，其中
cab
，
dbc
.如果
a
能被2整除，
b
能被3整除，
c
能被5整除，
d
能被7整除，那么
d
最小是 ．







【作业1】 一个收 银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不会错，只能是记
账时有一个数 点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。



11 14

【作业2】 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 ．








77
4
77 044444
14243
1423
【作业3】 一个19位数







9个
9个
能被13整除，求О内的数字．
【作业4】 已知四十一位数< br>55L5□99L9
（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多
少？







【作业5】 一位 后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧
去两个数字. 帐本是这样的：72本笔记本，共□
67.9
□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，
并求笔记本的单价.





12 14

【作业6】 小红为班里买了33个笔记本。班长发现购物单上没 有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到
9□□3
元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超 过95元，她实际用了 元。








1a87a2
是2008的倍数．
a
_________ 【作业7】







【作业8】 有15位同 学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学
都说这个数能被 自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同
学都对，问：⑴说的不对 的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵
如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．





【作业9】 若四位数
9a8a
能被15整除，则
a
代表的数字是多少？






13 14

【作业10】





0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是
（ ）。
学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议


家长签字：

14 14