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五年级 秋季 培优
第七讲 数的整除（二）
这一讲我们重点掌握能被7，11，13整除的数的特征。
1. 能被11整除的数的特征：
如果一个自然数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11
整除，那 么这个数就能被11整除，否则就不能。
2. 能被7，11，13整除的数的特征：
如果 一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小
数）能被7，11或1 3整除，那么这个数就能被7，11或13整除，否则就不能。
由1001＝7×11×13，知10 01被7，11或13整除。并熟记77＝7×11；91＝7×13；143
＝11×13。
3. 被互质的两个数同时整除的数的特征：
两个数互质指如果两个自然数只有公因数1，这两个数称为互质数。
如果一个自然数能同时被 两个互质的数整除，那么这个数一定能被这两个互质的数的乘
积整除；反之，如果一个自然数能被两个互 质数的乘积整除，则这个数一定能被这两个互
质的数整除。

典例精讲
例1一个六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数可能是多少？
【思路点拨】因为 22＝11×2，既然六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数就
应该同时是2和11的倍数 。然后根据可以被2和11整除的数的特征进行判断，即可解题。
【详细解答】


例2根据能被7，11，13整除的数的特征，判断2206525321能否被7，11，13整除。
【思路点拨】根据被7，11，13整除的数的特征，末三位数字所表示的数321，末三位
之 前的数所表示的数字所表示的数为2206525，两者之差为2206525－321＝2206204.这个
差能否被7，11，13整除，还不容易看出，必须继续利用被7，11，13整除的数的特征，
对上述的差2206204再进行判断。方法与前面一样，2206－204＝2002，2－2＝0，由于0
能被7，11，13整除，所以2206525321能被7，11，13整除。
【详细解答】

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例3 根据能被11整除的数的特征，判断下列数中哪几个能被11整除：
3434 3443 52019 68868
【思路点拨】根据能被11整除的数的特征来进行判断。
【详细解答】


例4把三位数3AB接连重复地写下去，共写5个3AB ，所得的数3AB3AB3AB3AB3AB恰好
是91的倍数，AB应是多少？
【思路点拨 】因为91＝7×13，且7和13互质，所以这个十五位数一定能同时被7，
13整除。
【详细解答】



达标练习
1. 在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填（ ）。



2. 五位数4A97A能被3整除，它的最末两位数字所成的数7A能被6整除，求这个五位
数。



3. 已知一个五位数□691□能被55整除，所有符合题意的五位数是
（ ）。

4. 九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。




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5. 已知八位数141A28B3能被99整除，求A、B。


6. 一个六位数576□□□同时是7，11和13的倍数，这个六位数是多少？



7. 判断：527436能否被7，11，13整除？


8. 用0、2、3、4、5、6这六个数字组成最大的六位数，使它的各位数字互不相同，且
能被11整除。



9. 173□是个四位数字。数学老师说：“我们在这个□中先后填 入3个数字，所得到的
3个四位数，依次可被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的 和是
多少？



10.42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是多少？





11.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至 11报数，报数
为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报
到11的同学留 下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最
初编号是（ ）号。
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拓展提高
1. 求能被26整除的六位数x1991y。





2. 已知整数5a6b7c8d9e能被11整除，那么a＋b＋c＋d＋e＝？





3. 证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7，
11，13整除。




4. 已知整数1x2x3x4x能被11整除，求x可能的值。




5. 有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数。这三个数分别是多
少？



6. 一个自然数各位数字均是0或1，并且能被225整除，则满足条件的最小自然数是
多少？
7.
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