非主流心情短语-忍别离

连续数的整除问题


文黄占松  来源：小学数学教师
解答连续数的整除问题，一般要借助一个数的整除知识和解题技巧，尽 可能
地把求几个数的问题转化成求一个数的问题。我们首先来看一道具体问题：

例1 三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最
大的能被19整除，写出一 组这样的三个连续自然数。（1994年小学数学奥林匹
克竞赛总决赛二试A卷）

解 15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们
的最小公倍数仍然是一个 奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的
和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我 们把这三个和分别除以2，就可以
得到一组符合题目要求的连续自然数。

15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845,4845+15=4860能被15整除，4845+17=4862能被17整除，4845+19=4864能被19整除，所以4860，486 2，4864
分别能被15，17，19整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别
除以2，得到2430，2431，2432，它们也一定能分别被15，17，19整除。

解答完了这道竞赛题，我们再来考虑它的一般情况，即：求出三个连续自然
数，使得这 三个数依次分别能被a,b,c整除（a,b,c均是不为0的自然数）。

一、 这样的一组自然数一定存在吗？

我们知道，在三个连续自然数中，相邻的两个数相 差1，不相邻的两个数相
差2，所以相邻的两个数一定互质，不相邻的两个数至多只能有公有质因数2。
这样我们就可以得到结论：如果任意两个除数有大于2的公因数，或相邻的两个
除数有公因数2 ，则一定不会存在符合要求的三个连续自然数。

请思考是否存在符合要求的从小到大的三个连续自然数，使它们依次能被下
列三个数整除。

（1） 2，4，8 （2） 7，10，13

（3） 4，6，9 （4） 6，11，17

（5） 5，10，13 （6） 4，9，25

（第（1）、（3）、（5）不存在符合要求的三个连续自 然数，第（2）、（4）、
（6）存在符合要求的三个连续自然数。）

二、 如何求出符合要求的一组数？

例2 有三个连续自然数，其 中最小的能被11整除，中间的能被17整除，
最大的能被7整除，写出这样的最小的三个连续自然数。

解 首先从比11的倍数大1的数中找出能被17整除的最小数，
11×3 +1=34,34能被17整除。再从比34的倍数大1的数中找出能被7整除的最
小数，34×1+1 =35,35能被7整除。因此，33，34，35就是所求的三个连续自然
数。

当相邻除数的差相同时，我们还可以按照例1解法那样利用最小公倍数来进
行快速求解。
三个连续自然数，它们从小到大依次是12、13、14的倍数，这三个连续自
然数中（除13外），是 13的倍数的最小数是多少？（2004年蚌埠市皖北书城
小学生数学竞赛题）

解 实际上12，13，14就是一组满足题目要求的连续自然数，但是在本题
中，要求除13外的最小 数，所以只要把12，13，14都分别加上它们的最小公倍
数就可以了。

12，13，14的最小公倍数是
2×6×137=1092,1092+12=1104,1092+ 13=1105,1092+14=1106,所以1105就是符
合题目要求的除13外的最小数。

例4 有三个连续自然数，从小到大依次分别能被9，7，5整除，写出一组
这样的三个连续自然数。

解 三个除数分别是9，7，5，都是奇数，它们从大到小排列，且相邻的差
都是2，所以我们可以利用最小公倍数来求解。

9，7和5的最小公倍数是9×7×5=315,315-9=306,315-7=308,315-5=310,306,308, 310分别能被9，7和5
整除。把306，308，310同除以2，得到的153，154，155 也一定能分别被9，7
和5整除。所以153，154，155是所求的符合条件的一组连续自然数。

例5 有三个连续自然数，从小到大依次分别能被3，7，11整除，写出一
组这样的三个数。

解 这道题的三个除数3，7和11分别相差4，就必须使它们的公倍数加上
3，7和 11后一定都是4的倍数，才能使得除以4后得到一组连续自然数。

3，7和11 的最小公倍数是
3×7×11=231,231×3+3=696,231×3+7=700,231× 3+11=704,696,700,704分别
能被3，7，11整除，且都是4的倍数，所以174 ，175，176也分别能被3，7，
11整除。

下面我们再来看一个求四个连续数的问题。

例6 四个连续自然数，它们从小到大 依次是3的倍数，5的倍数，7的倍
数，9的倍数。这四个连续自然数的和最小是______
。（2000年小学数学奥林匹克竞赛题）

解 3，5，7和9的最小 公倍数是
5×7×9=315,315+3=318,315+5=320,315+7=322,31 5+9=324,318,320,322,324
分别能被3，5，7，9整除，且都是2的倍数，所 以159，160，161，162也分别
能被3，5，7，9整除。又因为159小于最小公倍数31 5，因此159，160，161，
162是符合题目要求的一组最小数，这四个连续自然数的和最小是
159+160+161+162=642。

连续数的整除问题


文黄占松  来源：小学数学教师
练 习 题

1. 已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13 整除，
中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除，那么最小的一个自
然 数是 。（2002年北京小学生迎春杯数学竞赛题）

2. 在100至20 0之间，有三个连续自然数，其中最小的能被3整除，中间的能
被5整除，最大的能被7整除。写出这样 的三个连续自然数。（1994年小学数学奥林
匹克竞赛题决赛二试B卷）

3. 已知三个连续自然数，它们都小于3000，其中最小的能被11整除，中间的能
被16整除，最 大的能被21整除。写出这样的最小的三个连续自然数。

4. 已知四个连续自然数，从小到大依次能被4，9，25，49整除。写出这样的最
小的一组自然数。

答案：
1. 1664。 2. 159，160，161。 3. 2959，2960，2961。 4. 29348，29349，
29350，29351。