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第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语 言，
集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集
的含义。
3. 理 解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给
定集合中一个子集补集的含义， 会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集
合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等
式要复杂一些 ，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想。
【有关概念】
1、集合的概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都
可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这
些对象的全体构 成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表
示，如A、B、C……集合中的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c……
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
要注意“

”的方向，不能把a

A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，不能含糊不清、模棱两可.
（2）互异性：对于 一个给定的集合，集合中的元素一定是互异的，相同的元素
在同一集合中只能算一个.
（3）无序性：集合中的元素是无次序关系的.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集


（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N* 或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：①自然数集包括数0.
②非 负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的
集，也这样表示，例如，整 数集内排除0的集，表示成Z*

1

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6.子集
(1)设有集合A、B，若有x∈A，必有x ∈B，那么称A是B的子集。记作A⊆B，
读作B包含A(也可称A包含于B)。
(2)若两集合A、B满足A⊆B且B⊆A，称A与B相等，记作A=B。
(3)若两集合A 、B满足A⊆B且A≠B，称A是B的真子集。记作A⊊B，读作A真
包含于B(也可称B真包含A)
7.并集、交集与补集
(1)并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 ，记作
A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 。并
集越并越多。
(2)交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B( 或B∩A)，
读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少 。
(3)全集定义：一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这
个集合为 全集，通常记作 U.
(4)补集定义：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A的所有元素组成的集
合称为集合A相对全集U 的补集，简称为集合A的补集，记作：
C
U
A

【基础练习】
1.集合
{(x,y)0x2,0y2,x,yZ}
用列举法表示

2.设集合
A{xx2k1,kZ}
，
B{xx2k ,kZ}
，则
AB
____.
3.已知集合
M{0,1, 2}
，
N{xx2a,aM}
，则集合
MN
______ _．
4.设全集
I{1,3,5,7,9}
，集合
A{1,a5,9 }
，
C
I
A{5,7}
，则实数
a
的值为
______．

【范例解析】
例.已知
R
为实数集，集合< br>A{xx
2
3x20}
.若
BC
R
AR
，

BC
R
A{x0x1
或
2x3}
，求集合
B
.





2

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【反馈演练】
1,2

，
B

1,2,3

，
C< br>
2,3,4

，则

AB

UC
=________. 1．设集合
A

2.设
P
，
Q
为两个非空实数集合，定义集合
P
+
Q
=
{ab|aP ,bQ},若P{0,2,5},
Q{1,2,6}
，则
P
+
Q
中元素的个数是_______个．
3．设集合
P{xx
2
 x60}
，
Q{x2axa3}
.
（1）若
PQP
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
PQ
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
PQ{x0x3}
，求实数
a
的值.











第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述
相关的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学
内容．理解对 含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词
的命题进行否定．
【有关概念】
1.命题定义：可以判断真假的语句叫做命题.成立的命题叫真命题.不成立的命题
叫假命题.
2.命题的四种形式：一般用p和q分别表示原命题的条件和结论，用
p
和
q
分
别表示p和q的否定.于是四种命题的形式分别为原命题：若p，则q；逆命题：
若q则p；否命题：若
p
则
q
；逆否命题：若
q
则
p
.
3

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【基础练习】
1.下列语句中：①
x
2
30
；②你是高三的学生吗？③
315
；④
5x36
．
其中，不是命题的有____________．

2.一般地若用
p< br>和
q
分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为
_________ __，否命题可表示为__________，逆否命题可表示为______________；
原命 题与_________互为逆否命题，否命题与_________互为逆否命题．
【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等；
（2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设
a,b ,c,dR
，若
ab,cd
，则
acbd
.






















点评：
已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若
p
则
q
”的形式，找
出其条件
p
和结论
q
，再根据四 种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命
题，在改写命题时大前提不要动；在写命题
p< br>的否定即
p
时，要注意对
p
中的
关键词的否定，如“且”的 否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定
为“不都是”等.

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例2.写出由下列各组命 题构成的“
p
或
q
”，“
p
且
q
”，“非
p
”形式的命题，并判
断真假.
（1）
p
：2是4的约数，
q
：2是6的约数；
（2）
p
：矩形的对角线相等，
q
：矩形的对角线互相平分； （3）
p
：方程
x
2
x10
的两实根的符号相同 ，
q
：方程
x
2
x10
的两实根
的绝对值相 等.














点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“ 非”的命题的真假，先要把结构弄清
楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题
p
，
q
的真假然后根据真值
表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）
p
：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2）
p
：每一个非负数的平方都是正数；
（3）
p
：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）
p
：有的四边形没有外接圆；
（5）
p
：某些梯形的对角线互相平分.










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点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语
否定词语
正面词语
否定词语
等于
不等于
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有一个
一个也没有
小于
不小于
任意的
某个
是
不是
所有的
某些
都是
不都是



【反馈演练】

1．命题“若
aM
，则
bM
”的逆否命题是____ ______________.
2．已知命题
p
：
xR,sinx1
，则
p:
_______________.

3．若命题
m
的否命题
n
，命题
n
的逆命题
p
，则
p
是
m
的_______________.

4．命题“若< br>ab
，则
2
a
2
b
1
”的否命题为_ _______________________．
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设
a,bR
，若
ab0
，则
a0
或
b0
；
（2）设
a,bR
，若
a0,b0
，则
ab0．











第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和
充要条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合
PQ
，则
P
是
Q
的充分条件；
若集合
PQ
，则
P
是
Q
的必要条件；
若集合
PQ
，则
P
是
Q
的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
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【基础练习】
1.若_______，则
p
是
q
的充分条件．若_______，则
p
是
q
的必要条件．若_____，
则
p
是
q< br>的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”
填空. （1）已知
p:x2
，
q:x2
，那么
p
是
q
的__________条件．
（2）已知
p:
两直线平行，
q:
内错角相等，那么
p
是
q
的__________条件． < br>（3）已知
p:
四边形的四条边相等，
q:
四边形是正方形，那么p
是
q
的________
条件．
3.若
xR，则
x1
的一个必要不充分条件是_________．

【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”
填空. 
x2,

xy4,
（1）

是
的___________________条件；
y4.

（2）(x4)(x1)0
是
x4
0
的_____________ ______条件；
x1
（3）



是
ta n

tan

的___________________条件；
（4）
xy3
是
x1
或
y2
的________ ___________条件.

点评：
①判断
p
是
q
的什么条件，实际上是判断“若
p
则
q
”和它的逆命题“若
q
则
p
”
的真假，若原命题为真，逆命题为假，则
p
为q
的充分不必要条件；若原命题为
假，逆命题为真，则
p
为
q< br>的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则
p
为
q
的充要条件 ；若原命题，逆命题均为假，则
p
为
q
的既不充分也不必要条
件.
②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若
p
则
q
”的真假困难时 ，则可以判
断它的逆否命题“若

q
则

p
”的真 假.





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【反馈演练】
1．设集合
M{x|0 x3}
，
N{x|0x2}
，则“
aM
”是“
a N
”的

____________-条件．
2．已知
p
：1＜
x
＜2，
q
：
x
(
x
－3)＜0 ，则
p
是
q
的 条件．
3．已知 条件
p:A{xRx
2
ax10}
，条件
q:B{x Rx
2
3x20}
．若
q
是
p
的充分不 必要条件，求实数
a
的取值范围．






【课后巩固】
一、选择题
1.若集合
A{x|y4x,y R}
,
B{x|
2
1x
0}
,则
AB< br>（ ）

2x
A
.
[0,1]
.
B
.
(2,1]
.
C
.
(2,)
.
D
.
[1,)
.
1,2,3,4,,2013

中任取3个元素组成一个集合
A
,记A
中所有元素之和被3除余2.从集合

数为
i
的概率为
P
i
(0i2)
,则
P
0
,P
1
, P
2
的大小关系为 ( )
(A)P
0
P
1
P
2

(B)P
0
P
1
P
2

二、填空题
(C)P
0
P
1
P
2

(D)P
0
P
1
P
2

1.已知全集
UR
,集合
Axx
2
2x30
,则
C< br>U
A
_____________.
2

2.已知全 集
U{1，2，3，4，5}
,集合
A{x|x3x20}
,B{x|x2a，aA}
,则集
合
U
(AB)
=_______.



3.已知集合
A

1,0,a

,Bx13
x< br>3
,若
A
4.已知集合
A
=

2,1, 2

,
B
=
5.
已知集合
M

B
,则实数
a
的取值范围是____.

a1,a< br>,且
BA
,则实数
a
的值是_______.



x|x
2
4,xR

,
N
< br>x|log
2
x0

,则集合
MN
______ ___.


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6．已知集合
A

0,a

,
B1 ,a
2
，若
A

B

0,1,4,16

，则
a
．
7．若集合
A{0, m}
，
B{0,2}
，
AB{0,1,2}
，则实数
m
.
8．已知集合
A{x(x2)(x1)0,xR }
，
B{xx10,xR}
，则
AB
________ _____．

9．已知集合
A{x|0x3 }
，
B{x|x
2
4}
，则
AB
．
10.已知集合
Axx
2
2x30
，
Bxx 12
，则
AB
．
11.若集合
于



1
A {yyx,1≤x≤1},B{yy2,0x≤1}
，则
x
.
2
1
3
AB
等
12.集合
M{x|lgx0}
，
N{x|x4}
，则
MN
_________．

1

x1 }
”
2
13．已知命题“若
f (x)m
2
x
2
，
g(x)mx
2
2m，则集合
{x|f(x)g(x),
是假命题，则实数
m
的取值范围是 ．
14．若全集U=R，集合A={x| –2≤x≤2}，B={x| 0U
B= ．
15．已知集合
A xx2,Bxxa
，且
ABR
，则实数
a
的取值范围__ _______．
三．解答题
1.（金山区2013届高三一模）已知集合A={x| | x–a | < 2，xR }，B={x|
(1) 求A、B；
(2) 若
AB
，求实数a的取值范围．


















9

2x1
<1，xR }．
x2

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2.已知 集合
Axz

x2

4i,xR,i是虚数单位,z5
，


3x2


集合
B

x2xx3,xR

,
a
AB
，

100


求实数
a
的取值范围．


10