借不到的三寸日光-abab的成语

第十八讲 整除和带余除法
知识网络
在日常生活中，有一些按照一定的规律 不断重复出现的现象。如：星期、月份、
生肖都是按顺序不断重复出现的。在数学问题中也会常碰到一些 和重复出现有关的问
题。就需要用到有关整除的知识。
1．整除的一些性质
（1）可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被
2整除。 < br>（2）可被3整除的数的特征是：如果一个数的各个位上的数字之和能被3整除，
那么这个数能被 3整除。

（3）可被4（或25）整除的数的特征是：如果一个数的末两位数能被4（或 25）
整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（4）可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能
被5整除。
（5）可被8（或125）整除的数的特征是：如果一个数的末三位数能被8（或125）
整除 ，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）可被9整除的数的特征是：如果一个数各个数位上 的数字之和能被9整除，
那么这个数就能被9整除。
（7）可被11整除的数的特征是：如果 一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数
字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。
（8）数的整除的性质
1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自
然数整除。
3）如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质
的自然数的乘 积整除。
2．有余数除法
两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
可表示为：（1）被除数÷除数=商……余数
（2）被除数=除数×商+余数
1 10

3．余数的特征
（l）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数， 与它的各位数字之和除以9的余数相同。这个余数也
叫做这个数的“弃九数”或“九余数”。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之
和所得的差除以11的 余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，
那么应在奇数位上的数字之和上再增加1 1的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和，
或用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所 得余数与11的差即为所求。
重点·难点
掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、 8、9、11整除的数的特征以及除数
为4、8、9、11的余数特征。
学法指导
在解答数字实际问题的过程中，有时需要判断一个数能被哪些数整除，或者说用
哪些数去除能整除，如果 不直接用除法，就需掌握一些数的整除的特征，才能作出准
确的判断。对于有余数的除法，也需适当地掌 握一些余数的特征。
经典例题
[例1]在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？
28、96、120、225、540、768、423、224、292
思路剖析
由可以被4、9、3整除的数的特征来考察这些数。可被4整除的数要看数字的末
两位。可被9或3整 除的数的特征相似，都是要先求出各个数位上的数字之和能否被9
或3整除。
解答
能被4整除的数：28、96、120、540、768、224
能被9整除的数：225、540、423
能被3整除的数：96、120、225、540、768、423、294
[例2]（1） 五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B能被12整除，求这两
个五位数。
思路剖析
由于12=3×4，且3与4互质，那么能被12整除的数应具有的特点是既能被3整
2 10

除也能被4整除。
解答
（1）A1A72可被3整除则A+ 1+A+7+2=10+2A能被3整除，A取l、4。因为末两位
数72可被4整除，那么A1A72 可被4整除。
所以这个五位数是1l172或41472。
（2）4B97B可被3整除， 则4+B+9+7+B=20+2B能被3整除，B取2、5、8。再由能
被4整除的条件，末两位数7 B要能被4整数，B可以取2或6。同时符合上述两个条
件的B取值只有2，所以这个五位数是4297 2。
点津
如果要求的数不是被2、3、4、5、8、9、11整除的数，我们可以将除数因 式分解
后，分解成由上述这些数字构成的几个因式的积，通过运用已有的规律，找到适合的
解。
[例3]有一个四位整数16□□，如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，
那么这 个四位数的末两位上应是什么数？
思路剖析
由于满足能被2、3、4整除的数比较多，所以 先来看满足可以被5整除的数的特
点，即个位数是0或5。但若在个位填5，则不满足可以被2整除的条 件，所以个位数
字一定是0，若使这个四位数可以被4整除，则□0是4的整数倍，满足条件的有00、
20、40、60、80。最后再用可被3整除的条件来限制，找出正确的答案。
解答 在1600、1620、1640、1660、1680这些数中易知1620与1680可以被3整除。
则这个四位数的末两位上是20或80。
点津
当所求答案的限制条件较多时，首先 考虑的条件应是可以确定缩小寻找答案范围
的条件。如本题中可以被5整除这个条件，就是应先考虑的条 件。
[例4]要使六位数
18ABC6
能被36整除，而且所得的商最小，问这个六 位数是多
少？
思路剖析
由于
18ABC6
能被36整除，36= 4×9，且4与9互质，所以这个六位数既能被4整
除，又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条 件，应首先是A尽量小，其次是B
3 10

尽量小，最后是C尽量小。
解答
使
18ABC6
能被4整除，则
C6
能被4整除，因 此C可能取1、3、5、7、9。
使
18ABC6
能被9整除，则1+8+A+B+ C+6=15+A+B+C能被9整除。要使所得的商最
小，就要使
18ABC6
这个 六位数尽可能小，即
ABC
尽量小。因此首先是A尽量小，其
次是B尽量小，最后是C 尽量小。先试取A=0。此六位数的数字之和为A+B+C，欲使B、
C尽量小，而且（15+B+C） 能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取l、
3、5、7、9。则C=3，B=0 。
当A=0，B=0，C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。
[例5]已知2002年的1月l日是星期二，那么
（1）2002年的12月5日是星期几？
（2）20年后的1月l日将是星期几？
思路剖析
因为星期是按规律重复出现的现象，星期一、星期二、……星期日、星期—……每7天重复一次。所以要知道12月5日是星期几，须知从1月1日到12月5日之间
有多少个7天 。
求20年后的某天是星期几的算法相同。
解答
（1）在2002年中从1月至 12月，其中2月是28天，l、3、5、7、8、10月都是
31天，4、6、9、11月都是30天 ，因此从1月1日到12月5日总共有，28+6×31+4
×30+5=339（天）
由于 一星期有7天，339=7×48+3，所以从1月1日到12月5日的339天中，共
有48星期零3 天，这3天就是从星期二起的3天，第三天是星期四。所以12月5日
是星期四。
（2）先求 出这20年总共有多少天。由于每年有365天，20年就有20×365=7300
（天），而每四年 有一个闰年，20年中有5个闰年，所以20年总共有20×365+5=7305
（天）。
由于一个星期有7天，7305=7×1043+4说明20年中有1043个星期零4天，2002
年 1月1日是星期二，所以20年后的1月1日从星期二往后推4天，应该是星期六。
4 10

点津
在求解第一问时，所求得的总天数中包含了2002年1月1日这一天， 所以在推算
星期几时，从1月1日这天开始算。而第二个问题的总天数中没有将2002年1月1日这天算入，因此在推算星期几时，从1月2日这天开始计算。
[例6]检验下面的算式是否正确：
（l）65343+35892+38462=139587
（2）2708×358=968464。
思路剖析
根据余数的特征，我们可以利 用“弃九数”，不经过计算判断正误。等号左右两边
若弃九数相等，则等式可能成立。若弃九数不等，则 等式一定不成立。而且两个因数
的弃九数相乘，所得的数的弃九数应当等于两个因数的乘积的九余数。如 果不等，则
乘法计算有错误。
解答
（1）求各个加数的弃九数：
65343（6+5+3+4+3）÷9=2……3
35892（3+5+8+9+2）÷9=3……0
38462（3+8+4+6+2）÷9=2……5
139587（1+3+9+5+8+7）÷9=3……6
等号左边弃九数的和：3+5=8，右边弃九数为6。8≠6，则原算式计算有误。
（2）2708（2+7+0+8）÷9=l……8
358（3+5+8）÷9=1……7
8×7=56（5+6）÷9=1……2
968464（9+6+8+4+6+4）÷9=4……l
左边乘积的弃九数为2，右边结果弃九数为1。2≠1，所以此算式有误。
点津
用弃九数对运算进行验算时：
（l）先求出算式左边几个加数（因数）各自的弃九数； （2）对这几个弃九数按原来的运算顺序和运算方法进行运算，求出结果，再计算
出结果的弃九数；
（3）比较算式左右两边得数的弃九数。若不相同，则计算有误。若相等，则原来
的运算可能正 确。
5 10

[例7]已知两个整数相除商是13，余数是8，并且被 除数与除数的差是308，求这
两个整数。
思路剖析
由题中条件有：被除数÷除数=13……8
被除数- 除数=308，即被除数比除数大12倍多8，那么308=除数×12+8，则两数
可求。
解答
除数=（308-8）÷（13-l）
=25
被除数=308+25=333
答：被除数是333，除数是25。
[例8]有一 列数字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7…（1）第307个数是多少？
（2）这307个数 相加的和是多少？
思路剖析
观察这一列数的循环规律，是按照l、2、9、4、7这个顺序 每五个数依次重复排
列的，一个循环是5个数，要看307个数中有几个这样的循环。
解答
（1）307=5×61+2可知307里面有61个（1、2、9、4、7），还余两个数，所以第< br>307个数是2。
（2）每个循环之和：l+2+9+4+7=22，307个数中有61个循环及一个l、一个2。
所以这307个数的和为：22×61+l+2=1345
答：第307个数是2，307个数的和为1345。
发散思维训练
l．从l、5 、9、13、…、997中，任意找出200个数，把它们乘起来，积的个位
数字是多少？
2 ．将所有的自然数排列起来，如下列所示，38应排在哪个字母下面？96应排在
哪个字母下面？309 应排在哪个字母下面？
A B C D E F
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13… …
6 10

3．将2002个学生按下列方法编号排成六列：
一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 19 20 21
… … … … …
问第2002个学生应站在第几列？
4．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物依次代表各年
的年号。如果公元1年 属鸡年，那么公元2002年属什么年？
5．求下列各数除以11的余数：
（1）41873
（2）296738385
6．六位数
A8962B
能被99整除，求A和B。
7．将自然数1，2， 3，…，依次无间隔地写下去，组成一个数
11121314……如果写到自然数100，那么所得的数 除以9的余数是多少？
8．用1、2、3、4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？
9．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
10．小丁在计算有余数的除法时，把 被除数137错写成173。这样商比原来多了3，
而余数正好相同，你能够算出这道题的除数和余数各 是多少吗？
11．有一列数2，9，8，2，6、…，从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的< br>个位数字。问这一列数第100个数是几？
发散思维训练参考答案
1．解：
在1、5、9、13、……、997中共有250个自然数。而且个位数字只能为1、3、5、
7、9 。因此把这些奇数分为两类：
一类是个位数字为5的：5、25、…985共50个自然数。另一类是 个位数字不为5
的：共有250-50=200（个）自然数。
任意取出200个自然数分成两种情况进行考虑：
①若这些自然数中有个位数字为5的，则这 200个数的乘积个位必为5。因为5与
奇数相乘个位为5。
7 10

②若这些自然数中不含个位数字为5的，则这200个数的乘积的个位数字为：
(1937)(1937)(1937)
 
200450(组)
的个位数字。1×9×3×7的个位数字为
(1 937)(1937)(1937)
 
50(组)
9，则50个9相乘的个位数字为1。那么的
个位数字为1。
综上所述，这200个自然数的乘积的个位数字为1或5。
2．解：
排列规律按从小到大6个数一个循环。
38÷6=6……2，96÷6=16
309÷6=51……3
所以38排在第6个循环的第2个字母B的下面。96排在第16个 循环的第6个字
母F下面。309排在第51个循环的第3个字母C的下面。
3．解： 这些学生的排列顺序是：除第一排1~6个外，从第二排起都是按10个数一个循环
依次不断重复出 现。（2002－6）÷10＝199……6，第2002个学生在第199个循环后第
6个数。所以第 2002个学生站在第二列。
4．解：
总共有12种动物，因此12为一个循环。由于公元 一年是鸡年，把狗、猪、鼠、
牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡的顺序看作一个循环，这个公元1年 的鸡年是
第一循环前的最后一个鸡年。从公元2年至公元2002年共2001年，2001÷12＝1 66…
9，从狗年开始数9年，公元2002年是马年。
5．解：
一个数除以11的余数的特征：
（1）41873［（4+8+3）－（1+7）］÷11＝7÷11=0……7
所以41873除以11的余数是7。
（2）296738385奇数位之和：2+6+3+ 3+5=19，偶数位之和为9+7+8+8＝32。因为
19＜32，所以给19增加11的整数倍， 使其大于32。
（l9+11×2）－32=9
所以296738385除以11的余数是9。
6．解：
8 10