小学五年级奥数整除问题
失败乃成功之母-种树的牧羊人
五年级思维第二讲
基础知识：
1.
整除的定义、性质.定义：如果
a、b、c
是整数并且
b0
，
a
b=c
则称
a
能被
b
整除或者
b
能整除
a
，记做
ba
，否则称为
a
不能被
b
整除或者<
br>b
不
能整除
a
，记做
b|a
.
性质1
：如果
a、b
都能被
c
整除，那么他们的和与差也能被
c
整
除.
性质2：如果
b
与
c
的乘积能够整除
a
，那么
b
、
c
都能整除
a
.
性质3：如果<
br>b、c
都能整除
a
，并且
b、c
互质，那么
b、c<
br>的乘积也能够
整除
a.
性质4：如果
c
能整除
b
，
b
能整除
a
，那么
c
能整除
a
.
性质5：如果
b
和
c
的乘积能够被
a<
br>整除，并且
a，b
互质，那么
c
能够被
a
整除.
2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.
3.
被3，9整除特征：数字和被3,9整除.
4.
被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；
被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.
例题：
例1、如果六位数
2012□□
能够被105整除，那么后两位数是多少？
解：设六位数为
，
105=3，依次考虑被3,5,7整除得到
3
∣
a+b
-1，
b=
0或5, 7
∣
(1
0a+b-
1)，得到唯一解
a=
8,
b
=5.故后两位为85.
例2、求所有的
x
，
y
满足使得72
∣
.
解：72=8×9，根据整除9性质易得
x
+
y
=8或17，根据整除4 的
性质
y
=2
或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有322
56满足题意.
例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费
□67.
9□
元，其中
□
处
字迹已经模糊不清，请你补上
□
中的数字
并且算出每只羽毛球的单价.
解：设两个
□
处的数字分别是
a、
b
，则有143
∣
，
根据11
∣
，
有
a+
b
=8，再根据13
∣
，
所以13再根据
a+b
=8得到1
3（10
a
-5）
∣
(100
a
+67-90
-b
)，
∣
解得
a
=7
b
=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.
例4、把若干个自
然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是
0，那么最后的自然数至少是多少？
解：最后14位都是0说明这个乘积整除10
14
，由于1×2×3×…中
因数2
比因数5多得多，只需考虑其整除5
14
，5的倍数但是不是25的倍数可以提
供一
个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要
60个数，即这个自然数至少是60.
例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.
解：
，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只
有12
种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数
是768768.
例6、 要使六位数
解：
.
考虑
整理得
7
∣
(2
b+
3
c-a
+4
)，再考虑该数能被9整除，有
a+b+c
=2或11或20.
由于要求最
小的商也就是最小的被除数，先希望
a
=0.
此时，易验证
b
=0,
b
=1无解，而在
b
=2时，有解
c
=9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.
例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？
解：7,8
,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，
共有90000个数
，
900002520351800
，
1000025203244
0
，所以
共有36个.
例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？
解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和.
在
1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2
=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3
七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3
=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，
1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得
到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，
所以一共有19个.
例9、已知（重复99次）能够被91整除，求.
能够被63整除，那么商最小是多少？
能
被7整除，于是有7
∣
(
100b+10c+6-100-a
)，
解：根据7和13的整除判断方法7（1
3）
∣
（13）
∣
（
重复99次）有7
（重复98次），因
为（91,1000）=1，所以7（13）
∣
所以
（
重复98次），以此类
推，就有7（13）
∣
=
55.
，得到 =455，
例
10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么
这11个数中最小的是
多少？
解：因为连续11个数是343的倍数，而
3437
3
，但是
11个数中之多有两个
是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多
有3个是5的倍数，
但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5
的倍
数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以
最小的
数是40.
1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中
选取了两个数。他
把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。 但孙膑和庞涓
彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知
到这两个数是什麽，但我知道
你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。
庞涓说：那我也知道了。问这两个数是什么？这个原问题
可能很复杂，现在
告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓和孙膑不知道），你能指出孙膑和庞
涓每句话的逻辑含义和这两个数么？
解：2个人都不知道说明两个人得到的数都存在不
止一种的分解方法，庞
涓的话说明讲他得到的数分解成两个数的和，这两个数的乘积都存在另一种分解<
br>方式，而之后孙膑的话说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是5-197之中的
某几个，而他
所得到的乘积的各种分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得
到的数种。而庞涓最后一句话则说明，
孙膑对于自己的数的猜测让庞涓否定了和
的其他分解方式。
具体解法是考虑庞涓得到
的数，一定是5-29，先否定质数+2，可以分解成
两个质数的和的偶数，还剩下6、8、11、17
、23、27、29.
容易否定6、8，然
后对于每种和的分解利用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13.
2、一枚，三枚，还是四枚
有一种硬币游戏，其规则是：（1）一堆硬币共九枚.
（2）双方轮流从中取
走一枚，三枚或四枚.（3）谁取最后一枚谁赢.两人中是否必定会有一人赢？如
果是，如何取？
答：后手必胜.如果因为在剩余5枚的时候先手取3枚必胜.在有9枚时，如
果先
手去4枚则后手取3枚，如果先手去3枚则后手取4枚.如果先手取一枚则后手
取一枚.此
时还剩7枚，此时先手只能取1枚，后手再取4枚即可获胜.
作业题：
1.
已知六位数能够被720整除，请问这个六位数是多少？（答案=213840
或者293040）
2．
5555555□9999999
是7的倍数，求空格中的数字.（答案：3）
3. 一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问这个数是多少？
（答
案=439）
4. 请证明六位数
一定能被7、11、13整除.（证明略）
5．已知自然数
A
的各个数位上
的数码之和与3
A
的各个数位上的数码之和相等，
证明
A
必能被9整
除. （3
A
数字和是3的倍数，
A
的也是，所以
A
能被3
整除，
所以3
A
能被9整除，所以数字和是9的倍数，所以
A
的也是
，所以
A
能被9整
除.）
课堂练习题：
1、 如果一个数能被72整除，求
a+b
.
答案：
a+b=6.整除8的性质可以推出
b
=2，整除9的性质可以推出
a
=4.
2、 请根据7、11整除判断方法的推导和证明，类比推出对于17的整除判定（提
示17×59=1003）
答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被7、11、13整除
3、
用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个
能被11整除？ 解
：1+4=2+3，所以1，4在偶数位，2和3在奇数位或者1和
4在奇数位，2和3在偶数位，共有
2×2×2=8个.
4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大
的两个数
的和最小是多少？
解：10. 思想：差越小越容易整除.
任意连续的3个数，只要其中有两个偶数
都满足要求，所以可以找到2，3，4，6.
容易验证没有更小的符合题目要求的
解.
5、15位同学分别编号1-15，1号
同学写下了一个不少于6位的数，后面每个人
都说这个数能被自己的编号整除，经验证，只有连续两个编
号相连的人说错了，
请问这个数至少是多少？
答案：2,3,4,5,6,7都必须能整
除五位数，否则不能满足题意，所以
10,12,14,15也能整除这个五位数，因此这个数不能被8
、9整除.所以这个数至
少整除4×5×7×11×13=60060.
因为这个数至少是六位而又不能被8、9整除，
所以这个数至少是60060×5=300300.
6、请问是否存在一个数以7结尾的数，把7挪放到第一位之后得到的数恰巧等
于原
来的数的7倍. 若存在，请答出这个数的位数，若不存在，请证明.
答案：22位，竖式乘法即可得出答案.