门面装修-未完成的爱

第二讲 整除问题进阶

例题1. 答案：120087
详解：能 被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有
208
是99的 倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．

例题2. 答案：123483789 < br>详解：设这个九位数为
1234ab789
，两位截断求和
1234ab 789160ba
是99
的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．

例题3. 答案：6
详解：利用7的整除特性，


例题4. 答案：5
详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去 掉999999后
仍然是13的倍数．所以只需要满足
13|5

例题5. 答案：768768
详解：形如
abcabc
一定能被7整除，可以考虑由两个相同 的三位数来组成这个六位数，
三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保 证后三位能被
8整除就可以了．答案不唯一．


例题
6.
答案：
20999
详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．




  
2 3



 
3
2 3




1 3
2 3




9 1 3
2 3
9
就可以了．空格中要填5．
895930
能被7整除，只能填6．

   
→

  
9
→

 
3 9
→


7 3 9


  


 
6


2 6


2 6


9 9 9

练习1. 答案：6237
简答：两位截断后的和是99．
练习2. 答案：12327678


9 9 9


9 9 9


9 9 9

简答：两位截断后的和是198．
练习3. 答案：5712或5782
简答：利用7的整除特性，
7

练习4. 答案：0
简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下
那么空格 中只能填0．


作业1. 答案：
7
的倍数有
7315
，
58674
，
360360
；
13
的倍数有325702
，
360360
简答：牢记
7
和
13
的判断方法．


作业2. 答案：
6336
简答：这个四位数是
99
的倍数，两位截断后求和即可．


作业3. 答案：
2758
简答：应用三位截断法，可知
7

作业4. 答案：
9
简答：应用三位截断，可知
81
满足条件．


作业5. 答案：
3
简答：应用三位截断，可知
13

能被
7
整除，框中填
3
满足条件．

6

能被
7
整除，框中填
5
满足条件．

2
与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．
．它是13的倍数，

能被
7
和
13
整除，即
81

是
91
的倍数，框中填
9
第二讲 整除问题进阶

上次课我们学习了一 些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判
断等．现在我们再来学习一些新的判断 方法．
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数 （最前面的可
以是一位数）之和能被99整除．


例 题
1
六位数
2008
能同时被9和11整除．这个六位数是多少？

【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是
什么？

练 习
1

四位数


例 题
23

能同时被
9
和
11
整除，这个四位数是多少？

2
已知九位数
1234789
能被99整除，这个九位数是多少？
【分析】这 个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的
倍数可能是多少呢？

练 习
2

已知八位数
123


二、截断作差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与 偶数段之和
的差能被7或11或13整除．
678
能被
99
整除，这个八位数是多少？

例 题
3
阿呆写 了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间
拼成一个五 位数
59

89
，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？

【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被< br>7整除，我们可以由此将问题简化．

练 习
3

四位数
57



2
能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
接下来我们处理一些较复杂的问题．

例 题
4
L
3
5
已知51位数
55
12
25个5
99L
3
9
能被13整除，中间方格内的数字 是多少？

12
25个9

L
3
5□99L
3
9
能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它【分析】在本题中，
5 5
1212
25个525个9
变得简短一些．因为1001是13的倍数，而5555 55、999999分别是555、999与1001的乘
积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是 可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然
保证它能被13整除？

练 习
4

已知多位数
11L133L3
能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？
{
{
2010个1
2010个3



例 题
5
用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．

7
，
8
整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被< br>7
整除，【分析】能被
6
，
我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位 与后三位的差能被
7
整除呢？题目只要求我们
写出一个满足要求的六位数，所以只需要 找出一种特殊情况即可．

例 题
6
一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？



【分析】我们没有学过能被
23
整除的数的特征，而且
23
也不能拆分成两个特殊数的乘
积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义 来入手，这个五位数能被
23
整除，就是说它能写成
23
与另一个数的乘积． 接下来，大家想到该怎么办了吗？

课
堂 内 外
自古成功在尝试
枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下 手时，不
妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．
胡适（学者，诗人，1946 ～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的
序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未 必是．我今为下一转语，自古成功在尝
试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅 尝辄止，当然不能
成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．
我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．

作业
1.

在
7315，
58674
，
325702
，
96723
，
360360
中，
7
的倍数有哪些？
13
的倍数有哪些？


2. 四位数

3. 四位数
27

4. 已知 多位数
81□258258
1442
L
4
258
43
（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是
2012个258
33
能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
8
能被7整除，那么这个四位数是多少？
多少？

5. 已知多位数
11L133L3
能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
{
{
2011个1
2011个3