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---数的整除之四大判断法综合
运用(一）.教师版

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ﻩ

5-2-1.数的整除之四大判断法
综合运用（一）

教学目标
1. 了解整除的性质;
2. 运用整除的性质解题；
3. 整除性质的综合运用.


知识点拨
一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被２或5整除,这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被４或2５整除,这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或１25整除，这个数就能被８或1２5整除;
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被９整除，这个数就能被９整除；
３． 如果一个整数的奇数位上的数 字之和与偶数位上的数字之和的差能被1１整除，那么这个数能被１1整
除．
4． 如果一个 整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、1１或1３整除，那么这个数能被7、11
或1 3整除.
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则 拆出的数都有两个数
字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是9９的 倍数,这个数一定是9９
的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立．)
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱
ａ
,
c︱
ｂ
，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数
ａ
能被 数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被
ｃ
整除．即如果
ｂ
∣a,
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出:
性质3 如果数
ａ
能被数b与数
ｃ
的积整除，那么
ａ
也能被
ｂ
或
ｃ
整除.即如果b
ｃ
∣a，那
么b∣a，c∣a.
性质4 如果数
ａ
能被数b整除,也能被数c整除，且数b和数c互质,那么a一定 能被
ｂ

与c的乘积整除.即如果
ｂ
∣
ａ
，c∣< br>ａ
,且（b，c)=1,那么bc∣a．
例如:如果3∣１2,4∣12,且(3,4)=1，那么（３×4) ∣1２．
性质5 如果数a能被数b整除，那么
ａ
m也能被bm整除.如果 b|a,那么b
ｍ
|am(m为非0整数)；
性质6 如果数a能被数
ｂ
整除,且数c能被数d整除,那么a
ｃ
也能被bd整除．如果
ｂ
｜a ，且
ｄ
|c ，那么

ｂ
d｜a
ｃ
;

例题精讲


模块一、2、5系列

【例 1】
975935 972□
,要使这个连乘积的最后４个数字都是０,那么在方框内最小应填什么数？
【考点】整除之2、5系列 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 积的最后4个 数字都是0,说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5.
9755539
,
9 355187
，
97222243
,共有3个5,２个2，所以方框内至少 是
22520
．
【答案】
22520


【例 2】 从５0到100的这５1个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?
【考点】整除之２、5系列 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 首先，50、 60、7０、80、９０、100中共有７个0．其次，55、6５、85、95和任意偶数相乘都可
以 产生一个0,而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有
742114
个0．
【答案】14个连续的0

【例 3】 把 若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后
出现 的自然数最小应该是多少?
【考点】整除之2、５系列 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对２和5乘积末尾就有一个零 ．由
于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个５的倍数，所以我们只要观察
因数5的个数就可以了．
551
,
1052
，
15 53
，
2054
，
2555
，
3056< br>，……,
发现只有25、50、75、10０、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时 共出现
11213
个
因数5，所以至少应当写到55。
【答案】5５

【例 4】 １1个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？
【考点】整除之２、5系列 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 因为
3437
3
，由于在11个连续的两位数中,至多只能有２个数是7的倍数，所以其中有一个 必须是
４９的倍数,那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0,所以这连续的11个自然数至 少应该含
有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有３个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍 数,所
以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、５0或7５．所以这11个数中应同时有4 ９和５
０，且除50外还有两个是５的倍数,只能是40，41,4２，4３，44，45，46,４7 ，48,49，５0，它们
的平均数即为它们的中间项45.
【答案】4５

【例 5】
201202203300
的结果除以
10
， 所得到的商再除以
10
……重复这样的操作,在第＿_＿＿
次除以
10
时,首次出现余数.
【考点】整除之２、5系列 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第７题
【解析】 本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的
0
.0由5和2相乘得到,最关键在于有多少个5．
能整除１次5的数有２05,21０，21５，220，2３0,２３５,２40,245,25５,2 6０，265，270,280，

285,290,295共16个，会乘出1６个连续 的0;
能整除2次5的数有2２５,275,3０0共三个，会乘出６个连续的0；
能整除3次5的数有２50，会乘出3个连续的0。
所以共有
166325< br>个连续的0,则能整除25次10,第26次首次出现余数。
【答案】
26
次

【例 6】 用１～9这九个数字组成三个三位数（每个数字都要用)，每个数都是4的倍数 。这三个三位数中
最小的一个最大是 。
【考点】整除之２、5系列 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯,决赛,5年级,决赛，第8题,10分
【解析】 三个数都是4的倍数,个位必然都是偶数。当个位是2或6时,十位是奇数,当个位是４或8 时，十位
是偶数。因为1～9中只有４个偶数,所以三个数中有两个的个位分别是２和6,另一个的后两 位是84
或48。因为三个数的百位都是奇数,所以最小的三位数的百位最大是5，（另两个分别是9和 ７)。9
已被百位占用，十位最大的是8，所以三个三位数中最小的一个最大是584。
注：另两个三位数可以是912，736或932，7１6或9１6,732或９3６，71２。
【答案】
584


【例 7】 若
4b2cd32
，试问
abcd
能否被8整除?请说明理由.
【考点】整除之2、5系列 【难度】４星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】由能被8整除的特征知,只要后三位数能被８整除即可．
bcd100b10cd
,有
bcd(4b2cd)96b8c 8(12bc)
能被8整除,而
4b2cd32
也能被８整除，所以
abcd
能被
８整除．

模块二、３、9、9９系列

【例 8】 在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使4
□
32
□
是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自
己填的是否正确。
【考点】整除之3、９、9９系列 【难度】1星 【题型】填空
【解析】 一个数是9的倍数,那么它的数字和就应该是9的倍数， 即4

□

３

2

□是9的倍数，而4

３

２

9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍 数．依次填入３、6,因为4

3

３

2
6

１8是9
的倍数,所以43326是9的倍数。

【答案】4３３26(答案不唯一)

【巩固】 若9位数20０8
□2008能够被３整除，则
□
里的数是___＿＿_____
【考点】整除之
3
、
9
、９
9
系列

【难度】
1
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，
4
年级
,
初赛
,2
题

【解析】 根据题目知：20+
□
是3的倍数,所以
□
里填1或4或7.
【答案】
1
或
4
或
7


【例 9】 一个六位数
2口口727
被３除余l,被9除余４,这个数最小是 。
【考点】整除之3、9、９9系列 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯,4年级，决赛,第2题,８分
【解析】 被9除余4的数被3除必余1， 所以只需考虑被9除余４这个条件。这个数各个数位上的数字之和
除以9应余4。所以框里面最小是04 ,六位数为:２047２7．

【答案】
204727


【例 10】 连续写出从1开始的自然数，写到2００8时停止，得到一个多位数：１２345678 910１1……200
７200８，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么?
【考点】整除之
3
、
9
、９
9
系列 【难度】
2
星

【题型】填空

【关键词】希望杯,
四年级
,
复赛，第
15
题

【解析】 因为 连续
3
个自然数可以被
3
整除，而且最后一个自然数都是
3
的倍数，因为
2007
是
3
的倍数,所以
112007
是< br>3
的倍数，又因为
20072008123456789120071
，所以
20072008
除以
3
，得到的余数是
1
。
11
11
【答案】
1


【例 11】 试说明一 个两位数,如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数,则新数与原数的差一
定能被９整除.
【考点】整除之3、9、9９系列 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】设原来的两位数为
ab
，则新的两位数为
ba
.
ba
-
ab
(10ba)(10ab)9(ba)
.因为
9(ba)
能被
９整除,所以它们的差能被9整除.

【例 12】 123４56789101１121314…200820０９除以9，商的个位数字是__＿＿＿____ 。
【考点】整除之3、9、99系列 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,初赛，六年级,第5题
【解析】 首先看这个多位数是否能为９整除，如 果不能，它除以9的余数为多少。由于任意连续的9个自然
数的和能被9整除,所以它们的各位数字之和 能被９整除，那么把这9个数连起来写,所得到的数也能
被9整除。由于
20099223 2
，所以１2３４５6７８9101１1213１４…20０82009这个数除
以9的余数等 于2０082009(或者12)除以9的余数，为3.那么123456７8910１1121３14…200
８200９除以9的商，等于这个数减去３后除以9的商,即1２345６7８910１112131４ …200820
０6除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为４。
【答案】
4


【例 13】 证明
abcde
能被6整除，那么
2(abcd)e
也能被6整除．
【考点】整除之3、９、９９系列 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】∵
623

∴2｜
abcde

∴2｜e
∴6|3e
∵3|
abcde

∴3｜a+b＋c+
ｄ
+
ｅ

∴６|2（a+b＋c+
ｄ
+e)
∴6|２（
ａ
＋b＋
ｃ
＋d+e）-3e
∴6｜2（
ａ
+b＋c+
ｄ
)-e

【例 14】 试说明一个5位数,原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12３67为原序数,那么它对应的反 序
数为76321，它们的差
6395499646
是99的倍数．

【考点】整除之3、9、９9系列 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】设原序数为
abcde
，则反序数为
edcba
,则 abcde
-
edcba
(10000a1000b100c10de )(10000e1000d100c10ba)

9999a990b990d9999e

99(101a10b10d101e)

因为等式的右边能被99整除，所 以
abcde

edcba
能被9９整除


【例 15】 1至9这9个数字,按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开,得到两个数是
193426857
和
758624391
).如果
要求剪开后所得到的两个九位数的差能被
396
整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？
7
5
8
6
2
4
1
9
3

【考点】整除之3、9、９9系列 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 互为反 序的两个九位数的差，一定能被99整除.而
396994
,所以我们只用考察它能否能被 ４整
除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除,显然只有当剪开处两个数的奇偶
性相同时才有可能.注意图中的具体数字,有(3,４)处、（8,５）处的两个数字奇偶性均不相同， 所以一
定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3)处剪开的末两 位数字
之差为
431924
，(4,2)，(2，6)，(6,8)，(5，7) ,(７,1),(1,9)处剪开的末两位数字之差为
62328
．
8642 44
,
582632
，
851768
，
9157 34
,
713932
．所以从(9，3)，(4,2)，
(2，６), (６，8）,(5，7),(1,9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数.(9,3) ，（4,
２)，(2，6），(6,8),（５，7),(1，9)处左右两个数的乘积为２７,8，1 2,48,３5,9.
【答案】27,8，1２,48，35,9

【例 16】 六位数
20□□08
能被9９整除，
□□
是多少？
【考点】整除之3、9、99系列 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 方法一：２０００08被９9除商2020余２８，所以
末两位是28,所以为71；
08< br>能被9９整除,所以各位数字之和为9的倍数,所以方框中数字的和只能为
0028
能 被99整除,商72时,
99727128
,
方法二:
99911< br>，
20
8或17;又根据数被１１整除的性质,方框中两数字的差为6或5，可得
方法三:根据一个数能被99整除的特点知道：
20
【答案】71
是7１.
8=28
是99倍数，所以
=9928=71


【巩固】 六位
□2004□
能被９９整除，这个六位数是 。
【考点】整除之3、9、9９系列 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第３题，10分
【解析】 令整个六位数为
a2004b
，则
a24b
必然是99的倍数，所以a=5,b=7。则这个六位 数为520047。
【答案】
520047


【巩固】 六位数
2003□□
能被９9整除,它的最后两位数是 。
【考点】整除之３、９、
9
９系列



【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】希望杯
,
五年级
,
复赛
,
第
3
题，
4
分

【解析】 试除法2０0３99÷99=２0２4
【答案】
76

23，所以最后两位是９9-２3=7６。

【巩固】 已知九位数
2007□12□2
既是9的倍数，又是11的倍数;那么,这个九位数是多少？
【考点】整除之3、9、9９系列 【难度】３星 【题型】填空
【关键词】2008年，迎春杯,六年级,初赛，试题
【解析】 方法一:设原数
2007a12b2
，∵
9|2007a12b2



ab4
或者
ab13
，∵
11|

2007a12b2


20a

22
(
071b
)
0
或者（
071b
)
(22a02)

ab4

a3

ab 13





或者

ba9< br>根据两数和差同奇偶，得:

ab2b1ba9

20 07a12b2

200731212
.
11

a b2
或者

a2
不成立.所以，

b11

122
12□2
能被99整除，方法二：根据一个数能被９９整除的特点知道若想
2007□
则
207
必能被９9整除,列竖式分析得
207 31212
才满足,所以答案为
200731212

【答案】
200731212


【例 17】 将自然数1,2, 3,4……依次写下去，若最终写到2000,成为

，那么这个自然数除以99
余几?
【考点】整除之３、9、99系列 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于< br>99911
,可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以９9的余数.实际上求 得这个
数除以9和１１的余数均为3，所以这个数减去3后是9和１1的倍数，那么也是99的倍数，所 以
这个数除以9９的余数为３．
下面介绍另一种解法．
由于
100a9 9aa
，所以
100a
除以99的余数等于
a
除以９9的余数.同 样，
10000a
，
1000000a
……
等数除以９9的余数等于
a
除以９9的余数．可知，一个自然数
a
，如果在它后面加上偶数个０,那么
这个数除以99的余数等于
a
除以9９的余数.根据这一点,可以把

分成若干个后面带有
偶数个0的数之和.由于

的位数是奇数,那么对于组成
< br>的一位数１，
2,3，……，9,可以分成
10000
,
230010,11,12,……,９8,99，可以分成
1000
00
，
450 000
,
670000
，
890000
；对于其中的两位数
00
，
110000
，
120000
，……，
980000
，
990000
；
对于其中的三位数100,101,102,1０3，…… ,9９8，９99，两两一组,可以分成
1001010000
，
……，……，199 ９,20
1021030000
,
1041050000
，
9989 990000
;对于其中的四位数100０,10０1，
０0,可以分成
100000 00
,
10010000
，
10020000
，……,
19 990000
,2000.那么上面分成的所有数
中,虽然每个数后面的0的个数互不相同，但 都是偶数个,且它们的和恰好为

，那么

除以9９的余数就等于分成的这些数除 以99的余数的和．由于这些数除以99的余数
分别为1,23，45，67,89；10，11，12 ,……，９8，99；1０0101，1０２10３，1０41０5，……，9９
8999；１00０, 10０1，……,199９,20００，而其中100101，1０２103，１０410５，……,998９9 9是
公差为200２的等差数列,共４50项，可知所有这些余数的和为：


123456789



10111299


100101102103998999


10001001
225

1099

 902

100101998999

4502
10002000

10012

22549052472975001501500

248804130
，
而24880413０除以9９的余数等于
24 8804130201
除以9９的余数，为３.所以
200

除以９9的余数为3．

【答案】3

【例 18】 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 .
【考点】整除之3、９、９9系列 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,五年级,初赛,第6题
【解析】 因为２007是9的倍数,所以，这个 五位数一定是9的倍数,那么它的各位数字和一定是９的倍数．由
于五位数的各位数字之和最大为４5, 所以,可以从9、18、27、36、４５进行试值．
如果数字和为9，那么这个五位数为
9 200718063
,然而18０６3各位数字之和不为9，所
以此时不成立;
如果数字和为18，那么这个五位数为
18200736126
,36１26各位数字之和 为１8，所以此
时成立;
如果数字和为２7,那么这个五位数为
2720075 4189
,5４189各位数字之和为27,所以此时成
立；
如果数字和为36,那 么这个五位数为
36200772252
,然而72252各位数字之和不为36，所以此时不成立;如果数字和为45,那么这个五位数为
45200790315
，然而 9０３15各位数
字之和不为45,所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或５４１89 .
【答案】36126或54189

【例 19】 个位是
7
，中间数字全部是
0
的数字中，能被
27
整除而不被
81
整
207
,
2007
,
20007
,等首位是
2，
除的最小数是 。
【考点】整除之3、９、9９系列 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯,4年级,决赛,第6题，1０分
20007922223
，【解析】 也就是要求出
2222 3
能被
3
整除但不能被
9
整除的最小数是多少,该数的
n个 0
n个2n个2
各位数字之和为
2n3
，当
n6
时，满 足条件，也就是最小数是
20000007
。
【答案】
20000007


【例 20】 一个收银员下班前查 账时发现:现金比账面记录少了153元,她知道实际收钱不会错,只能是记账时
有一个数点错了小数点 ,那么记错的那笔帐实际收到的现金是＿__＿＿__＿_＿元。
【考点】整除之
3
、
9
、９
9
系列

【难度】
4
星

【题型】填空

【关键词 】希望杯
,
六年级，初赛，第１
8
题，
6
分

【解析】 说明账面比现金小数点右移了,若右移1位，则增加9位，恰好
153917< br>,若右移了2位,则增加99
倍，但
153
不是
99
的倍数, 所以现金17元。
【答案】
17