四年级奥数:数的整除性
particularly-幼儿园卫生保健工作总结
四年级奥数:数的整除性
这一讲主要讲能被
11
整除的数的特征。
一个数从右边数起,第
1
,
3
,
5
,
…
位称为奇数位,第
2<
br>,
4
,
6
,
…
位称为
偶数位。也就是说,个
位、百位、万位
……
是奇数位,十位、千位、十万位
……
是偶数位。例如9
位数
768325419
中,奇数位与偶数位如下图所示:
能被
11
整除的数的特征:一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和
的差(大数减小数)如果能被
11
整除,那么这个数就能被
11
整除。
例
1
判断七位数
1839673
能否被
11
整除。
分
析与解:奇数位上的数字之和为
1
+
3
+
6
+
3=
13
,偶数位上的数字之和为
8
+
9
+
7=24
,
因为
24-13=11
能被
11
整除,所以
1839673
能被
11
整除。
根据能被
11
整除的数的特征,也能求出一个数除以
11
的余数。
一个数除以
11
的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之
和所得的差除以
11
的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字
之和
,那么应在奇数位上的数字之和上再增加
11
的整数倍,使其大于偶数位上
的数字之和
。
例
2
求下列各数除以
11
的余数:
(
1
)
41873
;
(
2
)
296738185
。
11
分
析与解:(
1
)
[
(
4
+
8
+
3
)-(
1
+
7
)
]÷
11
=
0…
…7
,
=7÷
所以
41873
除以
11
的余数是
7
。
(
2
)奇数位之和为
2
+
6
+
3
+
1
+
5=17
,偶数位之和为
9
+
7
+
8
+
8
=
32
。因为
17
<
32
,所以应给
17
增加
11
的整数倍,使其大于
32
。
2
)
-32
=
7
,
(
17+11×
所以
296738185
除以
11
的余数是
7
。
需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时
,为了计算方
便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以
11
,所得余
数与
11
11
=
1……4
,所求余数是
11-4=7
。
的差即为所求。如上题(
2
)中,(
32-17
)<
br>÷
例
3
求除以
11
的余数。
分
析与解:奇数位是
101
个
1
,偶数位是
100
个
9
。
100-1×101
)
÷11
(
9×
=799÷11=72……7
,
11-7=4
,所求余数是
4
。
例
3
还有其它简捷解法,例如每个
“19”
奇偶数位上的数字相差
9-1
=8
,
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差
8×99=8×9×1
1
,能被
11
整除。所以例
3
相当于求最后三位数
191<
br>除以
11
的余数。
例
4
用
3<
br>,
3
,
7
,
7
四个数码能排出哪些能被
11
整除的四位数?
解:只要奇数位和偶数位上各有一个
3
和一个7
即可。有
3377
,
3773
,
7337
,
7733
。
例
5
用
1
~9
九个数码组成能被
11
整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解:最大的没有重复数字的九位数是
987654321
,由
(
9
+
7
+
5
+
3
+
1
)
-
(
8
+
6
+
4
+
2
)=
5
知,
987654321
不能被
11整除。为了保证这个数尽可能大,我们尽量调整
低位数字,只要使奇数位的数字和增加
3<
br>(偶数位的数字和自然就减少
3
),奇
2=11
,这个数就能被
11
数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为
5
+
3×
整除
。调整
“4321”
,只要
4
调到奇数位,
1
调到偶数位,
奇数位就比原来增大
3
,
就可达到目的。此时,
4
,
3在奇数位,
2
,
1
在偶数位,后四位最大是
2413
。
所
求数为
987652413
。
例
6
六位数能被
99
整除,求
A
和
B
。
11
,且
9
与
11
互质,所以六位数既能被
9
整除又能被
11
整分析与解:由
99=9×
除。因为六位数能被
9<
br>整除,所以
A+2+8+7+5+B
=
22+A+B
应能被
9
整除,由此推知
A<
br>+
B
=
5
或
14
。又因为六位数能被
11<
br>整除,所
以
(
A
+
8
+
5<
br>)-(
2
+
7
+
B
)
=
A-B
+
4
应能被
11
整除,即
A-B+4=0
或
A-B+4=11
。
化简得
B-A
=
4
或
A-B
=
7
。
因为
A+B
与
A-B
同奇同偶,所以有
在(
1
)中,
A≤5
与
A≥7
不能同时满足,
所以无解。
在(
2
)中,上、下两式相加,得
(
B
+
A
)+(
B-A
)=
14
+
4
,
2B
=
18
,
B=9
。
将
B=9
代入
A
+
B=14
,得
A
=
5
。
所以,
A=5
,
B
=
9
。
练习
6
1
.为使五位数
6□295
能被
11
整除,
□
内应当填几?
2
.用
1
,
2
,
3
,
4
四个数码能排出哪些
能被
11
整除的没有重复数字的四位
数?
3
.求能被
11
整除的最大的没有重复数字的五位数。
4
.求下列各数除以
11
的余数:
(
1
)
2485
;
(
2
)
63582
;
(
3
)
987654321
。
5
.求
6
.六位数
7
.七位数
除以
11
的余数。
5A634B
能被
33
整除,求
A+B
。
3A8629B
是
88
的倍数,求
A
和
B
。
答案
练习
6
1.4
。
2.1243
,
1342
,
2134
,
2431
,
3124
,
3421,
4213
,
4312
。
3.98736
。
4.
(
1
)
10
;
(
2
)
2
;
(
3
)
5
。
5.2
。
6.12
。提示:由能被
11整除推知
A+B=1
或
12
,再由能被
3
整除推知A+B=12
。
7.A=4
,
B=6
。
提示:由能被
8
整除,推知
B=6
;再由能被
11
整除,推
知
A=4
。