四年级奥数:数的整除性

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2021年01月15日 10:23
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2021年1月15日发(作者:桓玄)


四年级奥数:数的整除性

这一讲主要讲能被
11
整除的数的特征。

一个数从右边数起,第
1

3

5


位称为奇数位,第
2< br>,
4

6


位称为
偶数位。也就是说,个 位、百位、万位
……
是奇数位,十位、千位、十万位
……
是偶数位。例如9
位数
768325419
中,奇数位与偶数位如下图所示:


能被
11
整除的数的特征:一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和
的差(大数减小数)如果能被
11
整除,那么这个数就能被
11
整除。

1

判断七位数
1839673
能否被
11
整除。

分 析与解:奇数位上的数字之和为
1

3

6

3= 13
,偶数位上的数字之和为
8

9

7=24
, 因为
24-13=11
能被
11
整除,所以
1839673
能被
11
整除。

根据能被
11
整除的数的特征,也能求出一个数除以
11
的余数。

一个数除以
11
的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之
和所得的差除以
11
的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字
之和 ,那么应在奇数位上的数字之和上再增加
11
的整数倍,使其大于偶数位上
的数字之和 。


2
求下列各数除以
11
的余数:


1

41873



2

296738185


11
分 析与解:(
1

[

4

8

3
)-(
1

7


11

0… …7



=7÷
所以
41873
除以
11
的余数是
7



2
)奇数位之和为
2

6

3

1

5=17
,偶数位之和为
9

7

8

8

32
。因为
17

32
,所以应给
17
增加
11
的整数倍,使其大于
32


2

-32

7



17+11×
所以
296738185
除以
11
的余数是
7


需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时 ,为了计算方
便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以
11
,所得余 数与
11
11

1……4
,所求余数是
11-4=7


的差即为所求。如上题(
2
)中,(
32-17
)< br>÷

3

求除以
11
的余数。

分 析与解:奇数位是
101

1
,偶数位是
100

9


100-1×101

÷11



=799÷11=72……7



11-7=4
,所求余数是
4



3
还有其它简捷解法,例如每个
“19”
奇偶数位上的数字相差
9-1
8


奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差
8×99=8×9×1 1
,能被
11
整除。所以例
3
相当于求最后三位数
191< br>除以
11
的余数。


4


3< br>,
3

7

7
四个数码能排出哪些能被
11
整除的四位数?

解:只要奇数位和偶数位上各有一个
3
和一个7
即可。有
3377

3773

7337

7733



5


1
9
九个数码组成能被
11
整除的没有重复数字的最大九位数。

分析与解:最大的没有重复数字的九位数是
987654321
,由


9

7

5

3

1

-

8

6

4

2
)=
5
知,
987654321
不能被
11整除。为了保证这个数尽可能大,我们尽量调整
低位数字,只要使奇数位的数字和增加
3< br>(偶数位的数字和自然就减少
3
),奇
2=11
,这个数就能被
11
数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为
5


整除 。调整
“4321”
,只要
4
调到奇数位,
1
调到偶数位, 奇数位就比原来增大
3

就可达到目的。此时,
4

3在奇数位,
2

1
在偶数位,后四位最大是
2413
。 所
求数为
987652413



6
六位数能被
99
整除,求
A

B

11
,且
9

11
互质,所以六位数既能被
9
整除又能被
11
整分析与解:由
99=9×
除。因为六位数能被
9< br>整除,所以


A+2+8+7+5+B

22+A+B


应能被
9
整除,由此推知
A< br>+
B

5

14
。又因为六位数能被
11< br>整除,所



A

8

5< br>)-(
2

7

B



A-B

4
应能被
11
整除,即


A-B+4=0

A-B+4=11


化简得
B-A

4

A-B

7


因为
A+B

A-B
同奇同偶,所以有


在(
1
)中,
A≤5

A≥7
不能同时满足, 所以无解。

在(
2
)中,上、下两式相加,得


B

A
)+(
B-A
)=
14

4



2B

18



B=9



B=9
代入
A

B=14
,得
A

5


所以,
A=5

B

9



练习
6


1
.为使五位数
6□295
能被
11
整除,

内应当填几?


2
.用
1

2

3

4
四个数码能排出哪些 能被
11
整除的没有重复数字的四位
数?


3
.求能被
11
整除的最大的没有重复数字的五位数。


4
.求下列各数除以
11
的余数:


1

2485



2

63582



3

987654321



5
.求

6
.六位数
7
.七位数
除以
11
的余数。

5A634B
能被
33
整除,求
A+B


3A8629B

88
的倍数,求
A

B


答案

练习
6


1.4



2.1243

1342

2134

2431

3124

3421
4213

4312



3.98736



4.

1

10



2

2



3

5



5.2



6.12
。提示:由能被
11整除推知
A+B=1

12
,再由能被
3
整除推知A+B=12



7.A=4

B=6
。 提示:由能被
8
整除,推知
B=6
;再由能被
11
整除,推

A=4


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