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四年级奥数 整除与余数
【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是 被除数除以除数以
后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数
不为0， 即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷
除数=商……余数。这个关系也可以表示为： 被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：
1、 整除：
（1） 能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个
数能被2整除。
（2） 能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，
那么这个数能被3整除。
（3） 能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或
25）整除，那么这 个数能被4（或25）整除。
（4） 能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这
个数能被5整除。
（5） 能被 8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或
125）整除，那么这个数能被8（或1 25）整除。
（6） 能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，
那么这个数能被9整除。
（7） 能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位
上的数字之和的差能被11整除，那么这 个数能被11整除。
2、 有余数的除法：
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（1） 一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2） 一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3） 一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4） 一个数除以11的余数，与它 的奇数位上的数字之和与偶数位上
的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和
小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数
字之和，再除以11，所得的余数与11 的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6
位数。
【解 题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是
各位上的数字之和能被9整除，即1+4 +A+5+2+B能被9整除。当B=0
时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是1415 25或146520
【巩固练习】
1、 已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。
【答案】由于12=3×4，且3和4是 互质的，所以能被12整除的数
也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则< br>有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位
数的末两位是 72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以这个5
位数是11172或41472。
2、 如果一个6位数13A57B能同时被2、3、5整除，求这个6位
数。
【答案】132570或135570或138570
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3、 有一个四位整数16AB如果要让这个四位数同时能被2、3、4、< br>5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？
【答案】20或80
【经典例题2 】要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最
小，这个六位数是多少？
【发散思 维】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，
所以这个6位数既能被4整除又能 被9整除。再考虑“所得的商最小”
这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能
取1、3、5、7、9 。18ABC6能被4整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C
能被9整除。要使所得的商 最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC
尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能 小。先试取
A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能
被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、
9。则C=3,B=0.
当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，
为180036÷ 36=5001。
【巩固练习】
1、 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、
4、5整除，且使这个数值尽可能得小。
答案：这个六位数是865020。
2、 一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数
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73A,求A是几?
答案：设这个三位数为100a+10b+c ,根据题意有
100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b) ×9=73A,这就说明73A一
定是9的倍数，所以A取8。
3、 用0、1、3、5、7 这五个数中的四个数字，可以组成许多
能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？
答案：能组成14个，最小的是1375。
【经典例题3】有一个自然数，用它去除70、9 8和143这三个数得
到的三个余数之和是29，求这个自然数。
【发散思维】如果设这个数 为X,则根据带余除式可以得到下面三个
等式：70=xq1+r1,98=xq2+r2,143=x q3+r3,将这三个等式相加就可以利
用余数之和为29这个条件了。
【解题步骤】将上面三个等式相加可以得到
70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3,
化简得 311=xq+29,
其中的字母q是上面三个商的和，它是一个整数。上面这个
等式还可以 写成xq=311-29,即xq=282,
从这个等式发现x是282的因数列出282的所有因数 为1、
2、3、6、47、94、141、282，这8个因数中哪个可以成为
x的取值？逐一 试验可以发现x=47.
【巩固练习】
1、 有一个自然数，分别去除25、38、43、所得的余数都不为0，
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且这三个余数之和是22，求这个自然数。
答案：如果把25、3 8、43三个数之和减去三个余数之和22，剩下的
数必然是所求数的整数倍。25+38+43=84 ，84=21×4，即84是4的
21倍。若所求之数为4，那么：25=4×6+1,38=4×9+ 2,43=4×10+3，
而1+2+3！=22，。若所求之数为21，那么：25=21×1+4, 38=21×
1+17,43=21×2+1,4+17+1=21。所以这个自然数为21。
2、 有一个自然数去除63、90、130都有余数，且余数之和为25，
求这个自然数。
答案：这个自然数是43。
3、 用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。求这个自然
数。
答案：23或46或92。
【经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数 、除
数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。
【发散思维】被除数与除数的和是4 54-12-26=416。又因为商是12，
余数是26，表示被除数比除数的12倍还多26，还要 再减去26，所
以除数是（416-26）÷（12+1）=30。
【解题步骤】（454-12-26-26）÷（12+1）=30。
【巩固练习】
1、 两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求
被除数。
答案：688
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2、 被除数除以除数，商是18，余数是62，被除数、除数、商及
余数的和是1529，求被除数是多少。
答案：1376
3、887除以一个数，商是52，且除数比余数大14，求除数和余数各
是多少。
答案：除数是17，余数是3。
【经典例题5】求111…1除以7的余数是多少。
︸2002个
【发散思维】我们用竖式除，观察商的规律，发现1 11111÷7=15873，
即每6个1组成的多位数能被7整除。2002个1中有几个6个1，看
余几个1，再由此确定余数。
【解题步骤】2002÷6=333……4,1111÷7=158……5，
所以111…1除以7的余数是5。
︸2002个
【巩固练习】
1、求444…4÷9后余几。
︸2003个
答案：2003÷9=222……5,44444÷9=4938……2。

【经典例题6】已知2002年的1月1日是星期二，那么2002年的12
月5日是星期几？
【发散思维】因为星期是按规律重复出现的现象，每7天重复一次，
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所以要知道2002年的12月5日是星期几，就必须知道从1月1日到12月5日之间有多少天。
【解题步骤】2002不能被4能除为平年，所以2月28天，1、3 、5、
7、8、10都是31天，4、6、9、11都是30天。28+31×6+30×5=339< br>（天），所以339÷7=48……3。即339天中有48个星期零3 天，这
三天是从星期二起的3天，所以2002年的12月5日是星期四。
【巩固练习】
1、
是星期几？
答案：100÷7=14……2，今天是星期三，从今天算起，第100天是星
期四。
2、1993年的元旦是星期五，请你算一算，1997年的元旦是星期几？
2000年的元旦是星期 几？
答案：1997年的元旦是星期三，200年额元旦是星期六。
3、某年的10月有5个星期六，4个星期日，这一年的十月一日是星
期几？
答案：星期四。


今天是星期三，从今日算起，第100天
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