懒洋洋图片-日落

（初中数学）数的整除性精选题练习及答案

阅读与思考
设a
，
b
是整数，
b
≠0，如果一个整数
q
使得 等式
a
=
bq
成立，那么称
a
能被
b
整除 ，或称
b
整
除
a
，记作
b
|
a
， 又称
b
为
a
的约数， 而
a
称为
b
的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1．数的整除性常见特征：
①若整数
a
的个位数是偶数，则2|
a
；
②若整数
a
的个位数是0或5，则5|
a
；
③若整数a
的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|
a
(或9|
a
) ；
④若整数
a
的末二位数是4(或25)的倍数，则4|
a
(或2 5|
a
)；
⑤若整数
a
的末三位数是8(或125)的倍数，则8 |
a
(或125|
a
)；
⑥若整数
a
的奇数位数 字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|
a
．
2．整除的基本性质
设
a
，
b
，
c
都是整数，有：
①若a
|
b
，
b
|
c
，则
a
|< br>c
；
②若
c
|
a
，
c
|
b
，则
c
|(
a
±
b
)；
③若
b
|
a
，
c
|
a
，则[
b
，c
]|
a
；
④若
b
|
a
，
c
|
a
，且
b
与
c
互质，则
bc
|
a
；
⑤若
a
|
bc
，且
a
与
c
互质，则
a
|
b
．特别地，若质数
p
|
bc
，则必有
p
|
b
或
p
|
c< br>．

例题与求解
【例1】在1，2，3，„，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而
且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想：自然数
n
能同时被2和3整除，则
n< br>能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

【例2】已知
a
，
b
是正整数(
a
＞
b
)，对于以下两个结论：
①在
a
＋
b
，
ab
，
a
－
b< br>这三个数中必有2的倍数；
②在
a
＋
b
，
ab，
a
－
b
这三个数中必有3的倍数．其中 ( )
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①，②都正确 D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数
13ab456
能被198整除，求
a
，
b
的值．(江苏省竞赛试题)
解 题思想：198=2×9×11，整数
13ab456
能被9，11整除，运用整除的相关特性 建立
a
，
b
的等式，
求出
a
，
b
的值．




【例4】已知
a
，
b< br>，
c
都是整数，当代数式7
a
＋2
b
＋3
c
的值能被13整除时，那么代数式5
a
＋
7
b
－22
c
的值是否一定能被13整除，为什么？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5
a
＋7
b
－22
c
构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．


【 例5】如果将正整数M放在正整数
m
左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为
m< br>的“魔术
数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为41 5的魔术数)，求正整数
n
的
最小值，使得存在互不相同的正整数
a
1
，
a
2
，„，
a
n
，满足对任意一个正整数m
，在
a
1
，
a
2
，„，
a
n
中都至少有一个为
m
的“魔术数”．

解题思想：不妨设
a
i
7k
i
t
(
i
=1，2，3，„，
n
；
t
=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为< br>m
的
“魔术数”．根据题中条件，利用
a
i
10
k
m
(
k
是
m
的位数)被7除所得余数，分析
i< br>的取值．


【例6】一只青蛙，位于数轴上的点
a
k，跳动一次后到达
a
k1
，已知
a
k
，
a< br>k1
满足|
a
k1
－
a
k
|=1，我们把青蛙从
a
1
开始，经
n
－1次跳动的位置依次记作
A
n
：
a
1
，
a
2
，
a
3
，„，
a
n
．
⑴ 写出一个
A
5
， 使其
a
1
a
5
0
，且
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
>0；
⑵ 若
a
1
=13，
a
2000
=2 012，求
a
1000
的值；
⑶ 对于整数
n
(
n
≥2)，如果存在一个
A
n
能同时满足如下两个条件：①
a
1
=0；②
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋„
＋
a
n
=0．求整数
n
(
n
≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴
a
1
a
5< br>0
．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向
左．为保证
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
>0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若
a
1
=13，
a
2000
=2 012，从
a
1
经过1 999步到
a
2000
．不妨设向 右跳了
x
步，向左跳了
y
步，则

xy1999

x1999
，解得

可见，它一直向右跳，没有向左跳．

13xy2012y0

⑶设
A
n
同时满足两个 条件：①
a
1
=0；②
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋„＋
a
n
=0．由于
a
1=0，故从原点出发，经
过(
k
－1)步到达
a
k
，假 定这(
k
－1)步中，向右跳了
x
k
步，向左跳了
y
k
步，于是
a
k
=
x
k
－
y
k
，
x
k
＋
y
k
=
k
－1，则a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋„＋
a
n
=0＋(
x
2
y
2
)＋(
x
3
y
3
)＋„(
x
n
y
n
)=2(< br>x
1
＋
x
2
＋„＋
x
n
)－[(< br>x
2
y
2
)

＋(
x
3y
3
)＋„＋(
x
n
y
n
)]=2(x
2
＋
x
3
＋„＋
x
n
)－
n

n1

．由于
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋„＋
a
n
=0，所以
2
n
(
n
－1)=4(
x
2
＋
x
3
＋„＋
x
n
)．即4|
n
(
n
－1)．



能力训练
A级

1．某班学生不到50人，在一次测 验中，有
111
的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则
732
有___ _____人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题)
3．一个五位数
3ab98
能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )
A．532 B．665 C．133 D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )
A．1 B．2 C．3 D．6
(江苏省竞赛试题)
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( )
A．12个 B．18个 C．20个 D．30个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．五位数
abcde
是9的倍数，其中
abc d
是4的倍数，那么
abcde
的最小值为多少？
(黄冈市竞赛试题)


8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数 字
abcdef
，使得三位数
abc
，
bcd
，
c de
，
def
能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)




9．173□是个四位数字，数学老 师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，
依次可被9，11，6整除．”问：数 学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)



B级
1．若一个正整数< br>a
被2，3，„，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则
a
的最小值为__ _______，

a
的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题)
2．已知
m
，
n
都是正整数，若1≤< br>m
≤
n
≤30，且
mn
能被21整除，则满足条件的数对(< br>m
，
n
)
共有___________个．
(天津市竞赛试题)
3．一个六位数
x1989y
能被33整除，这样的六位数中最 大是__________．

1,3,5,7,

,1991,1993 ,1995,1997,1999

4．有以下两个数串

1,4,7,10 ,

,1987,1990,1993,1996,1999
同时出现在这两个数串中 的数的个
数共有( )个．
A．333 B．334 C．335 D．336
)个．
)．
5．一个六位数
a1991b
能被12整除，这样的六位数共有(
A．4 B．6 C．8 D．12
6．若1 059，1 417，2 31 2分别被自然数
n
除时，所得的余数都是
m
，则
n
－
m
的值为(
A．15 B．1 C．164 D．174
7 ．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数
abc
，然后，魔术师再要求他记下五 个
数：
acb
，
bac
，
bca
，
ca b
，
cba
，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出
N
的大小，魔 术师就
能说出原数
abc
是什么．如果N=3 194，请你确定
abc
．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可 得到一个最大数和一
个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求 所有的三位“拷贝
数”．
(武汉市竞赛试题)




9．一个六位数，如将它的前三位数 字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6
倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)


10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题)



11．从1，2，„，9中任取
n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们
的和能被10整除，求
n
的最小值．
(2013年全国初中数学竞赛试题)

数的整除性答案
例1 267 提示：333－66＝267．
例2 C 提示：关于②的证明：对于a，b若 至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b
都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1， b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，
a＋b＝3(m＋ n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝ 3n＋2时，
a－b＝3(m－n).
例3 a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b )得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4 设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c) ＋13(ya＋zb＋tc ).比较上式a，b，c

7x13y5

的系数，应当有
< br>2x13z7
，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，

3x13t22

则有13 (2a＋b－c)－3(7a＋2b＋ 3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，
则5a＋7b－22c就能被13整除．

例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a< br>1
，a2，„，a
n
互不相等，不妨设a
1
＜a
2
＜„＜a
n
，余数必
为1，2，3，4，5，6，0，设a
i
＝k
i
＋t(i＝1，2，3，„，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为 m
的“魔术数”，因为a
i
·10
k
＋m(k是m的位数)，是7的 倍数，当i≤b时，而a
i
·t除以7的余数都是0，
1，2，3，4，5，6中的6 个；当i＝7时，而a
i
·10
k
除以7的余数都是0，1，2，3，4，5 ，6这7个数
字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，a
i
·10
k
与m二者余数的和至少有一个是7，此时a
i
·10
k
＋m被
7整除 ，即n＝7．

例6 (1)A
5
：0，1，2，1，0.(或A
5
：0，1，0，1，0) (2)a
1000
＝13＋999＝1 012． (3)n被4除余数
为0或1．
A级
1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B
——
——
—
7．五位数abcde＝10×abcd＋e.又∵abcd 为4的倍数．故最值为1 000，又因为abcde为9的倍数．故1
—
＋0＋0＋0＋e能 被9整除，所以e只能取8．因此abcde最小值为 10 008.
8．324 561提示：d ＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d
＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，

9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．

B级
＋
1．2 521 a＝2 520n＋1(n∈N)
2．57
3．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字 之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能
被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
———————
7．由题意得acb＋bac＋bca＋cab＋cba＝3 194，两边加上abc．得222(a＋b＋c)＝3194＋abc

——
∴222(a＋b＋c) ＝222×14＋86＋abc．则abc＋86是222的倍数．
——————
且a＋b＋ c＞14．设abc＋86＝222n考虑到abc是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出abc的可 能
——
值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故abc＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码 重新排列
————————
后，设其中最大数为abc，则最小数为cba．故N＝ abc－cba＝(100a＋10b＋c)－ (100c＋10b＋a)
＝99(a－c)． 可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，8 91，990．而
这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．
—————————————————
9．设原六位数为abcdef，则6×abcdef＝ defabc，即6×(1000×abc＋def)＝1000×def＋abc，所
——————— —
—
——
以994×def－5 999×abc，即142×def＝857×abc， ∵(142，857)＝1，∴ 142|abc， 857|def，
————
—
—————
而abc，def为三位数，∴ab c＝142，def＝857，故abcdef＝142857．
——
10．设这个数为abcd，则1 000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1 999，即1 001a＋101b＋11c＋2d＝1 999，
得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998， 101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，
71≤1 1c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1 976．
11．当n＝4时，数1，3，5， 8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a
1
a
2
，„，a5
是1，2，„，
9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除 ，则
a
1
,a
2
,,a
5
中不可能同时
出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是
a
1
,a
2
,,a< br>5
中必定有一个为5，若
a
1
,a
2
,,a
5
中含1，则不
含9，于是，不含
4(45110)
，故含6；不 含
3(36110)
,故含7；不含
2(21710)
,故 含
8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若
a
1
,a
2
,,a
5
中含9, 则不含1, 于是不含
6(69520),
故
含4; 不含
7(74920),
故含3; 不含
8(89320),
故含2; 但是
53210
是10的倍数, 矛盾.
综上所述,n的最小值为5