小学数学高频考点讲义44专题四十四 数的整除特征

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2021年01月15日 10:26
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2021年1月15日发(作者：蔡云程)


专题四十四 数的整除特征

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强，它 是小学数学中的重要课题，也是小
学数学竞赛命题的内容之一
1.整除——因数和倍数


例如：15÷3＝5，63÷7＝9
一般地，如a、b、c为整数，b ≠0,且a÷b=c,即整数a除以整数b(b不等于
0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说 余数是0），我们就说，a能被b
整除（或者说b能整除a）记作b|a，否则，称为a不能被b整除， （或b不能整
除a），记作b
|
a。


如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7
是63的因数。
2.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征 ”包含两
方面的意义：一方面，个位数字是0或偶数的整数，必能被2整除；另一方面，
能被2 整除的数，其个位数字只能是0或偶数。下面“特征”含义相似
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864＝ 1800+64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的
倍数。又因为4|64，所 以1864能被4整除。但因为25
|
64，所以1864不能被
25整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：2937 5＝29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8
与125的倍数，又 因为125|375，所以29375能被125整除。但因为8
|
375，所
以8< br>|
29375.
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位 上的数字
之和的差（大减小）是11的倍数。


例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是 9+7+5+3+1＝25，偶位上的数字之和是
8+6+4+2＝20。因为25－20＝5，又因为 11
|
5，所以11
|
123456789.




再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶 数位上数字和的差是：（4+5+1）－（7+3）
＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11|0，因 此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位 以前的数
字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。




例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059 和282两个数。因为1059－282＝777，又7|777，
再例如：判断3546725能否被 13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数。因为3546－725＝2821。 再把2821
所以7|1059282。因此1059282是7的倍数。
分为2和821两 个数，因为821-2＝819，又13|819，所以13|2821，进而
13|3546725。
例题:
【例1】已知45|
x1993y
求所有满足条件的六位数
x1993y

分析与解答：∵ 45＝5×9，
∴ 根据整除“性质2”可知
5|x1993y, 9|x1993y,







∴ y可取0或5。
当y=0时，根据
9|x1993y,
及数的整除特征③可知x=5,
当y=5时，根据
9|x1993y,
及数的整除特征③可知x=9.
∴ 满足条件的六位数是519930或919935.
【例2】李老师为学校一共买了28支价格相同的 钢笔，共付人民币9□.2□元。已知□处数
字相同，请问每支钢笔多少元？
分析与解答：∵ 9□.2□元＝9□2□分
28＝4×7，
∴ 根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□。
4|2□，可知□处只能填0或4或8。
因为7
|
9020，7
|
9424，所以□处不能填0和4；
因为7|9828，所以□处应该填8。
又∵ 9828分＝98.28元


98.28元÷28＝3.51(元)
答：每只钢笔3.51元。
【例3】已知整数
1a2a3a4a5a
能被11整除，求所有满足这个条件的整数。


分析与解答：11|
1a2a3a4a5a
。
∴根据能被1 1整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的
倍数，即：11|（15-5a ）,或11|（5a-15）.
但是 15-5a=5(3-a),5a-15=5(a-3),又（5，11）＝1，
因此11|（3-a）或11|（a-3）.
又∵ a是数位上的数字。
∴ a只能取0～9。
所以只有a=3才能11|（3-a）或11|（a-3），即当a=3时，11|15-5a.
∴ 符合题意的整数只有1323334353.
试一试：如果将例3中的整数改为
1a
1
2a
2
3a
3
4a
4
5a
5
（其中
a
1
,a
2
,a
5
互不相同 ）且
它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？
ab3ab3

ab
恰是【例4】把三位数
3ab
接连重复地写下去，共写1993个
3ab
，所得的数
3

1993个3ab
91的倍数。试求ab?

分析与解答：∵ 91＝7×13，且（7，13）＝1。
ab3ab3

ab
， 13|
3ab3ab3

ab
∴ 7|
3

1993个3ab1993个3ab
根据一个数能被7或13整除的特征可知：

ab3

ab
能被7以及13整除 原数
3
1993组
ab3

ab3ab
能被7以及13整除， 当且仅当
3

1992组

ab3

ab000
能被7以及13整除。 也就是
3
 
1991组
ab3

ab000
，
ab3

ab000
因为（7，10）＝1，（13，10）＝1，所以7|
3
1 3|
3

1991组1991组
ab3

ab
，13|
3ab3

ab
，因此，用一次性质（特征）也就是 7|
3
，就

1991组1991组
去掉了两组3ab
；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及
13整除当且仅当
3ab
能被7以及13整除。
又∵ 91的倍数中小于1000的只有91×4＝364的百位数字是3，
∴
3ab
＝364
∴
ab64

【例5】在865后面 补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这
个数值尽可能的小。


分析与解答：设补上数字后的六位数是
865abc
。因为这个六位数能分别被 3、4、5整除，
所以它应满足以下三个条件：
第一，数字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍数。
第二，末两位数字组成的两位数
bc
是4的倍数。



第三，末位数字c是0或5。
设要求的六位数为
865abc
。根据题意可 知：4|
bc
，且c只能取0或5.
又∵ 能被4整除的数的个位数不可能是5，
∴ c只能取0。因而b只能取自0、2、4、6、8中之一。




又∵ 3|
865ab0
，且（8+6+5）除以3余1，
∴ a+b除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0,b=2.
∴ 要求的六位数是865020.

习题：
1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或
_____.
2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最
小是_____.
3. 下面一个1983位数33„3□44„4中间漏写了一个数字(方框),已知这
991个 991个
个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.
4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数
是_____.
5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1
的数,它的两个 数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.
6. 一个小于200的自然数,它的每 位数字都是奇数,并且它是两个两位数的
乘积,那么这个自然数是_____.
7. 任取一 个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各
位数字之和,C表示B的各位数字 之和,那么C是_____.
8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四 位数，如
果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.
9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位
数，其中 最大的是_____.
10. 所有数字都是2且能被66„„6整除的最小自然数是_____位数.
100个



———————————————答 案——————————————————————
习题答案：


1. 2620或2711
一个数如果是88的倍数 ,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8
的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可 知这个六位数个位上的数是0
或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四 个数看,
这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框
内填入 的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 230560

88=2620
238568

88=2711
所以,本题的答案是2620或2711.

2. 0
因为36=9

4,所以这个十一位数既能被9整除 ,又能被4整除.因为1+2+„
+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+ 0）、9（1+8，8+1，
2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）. 再由能被4整除的数的特征:这
个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,„，36，„， 72，„96.这样,
这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.

3. 6
33„3□44„4

991个 991个
=33„3

10
993
+3□4

10
990
+44„4

990个 990个
因为111111能被7整除，所以33„3和44„4都能被7整除,所以只要
990个 990个

3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.
三个连续的两位数其和必是3的 倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,
所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个 ,它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34.
[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：
设三个连续自然数为n
,
n+1,n+2,则
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以，
n(n1)(n2)
能被3整除.

5. 118
符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,

< br>如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两
位数有:39 、79.
所以,所求的和是39+79=118.

6． 195
因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15

15=2 25>200,所以其中至
少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件, 因为对
于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是
奇数 ,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13

13=169不
合要求,13

15=195适合要求.所以,答案应是195.

7. 9
根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.
因为3456=38 4

9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据
能被9整除的数 的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以
下八种可能取值:9,18,27,36 ,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B
的各位数字之和C也总是9.

8. 9
∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两 组四个数字组成的
四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小 到大排列
为:1047,1074,1407,1470,1479,1497„.所以第五个数的末位 数字是9.

9. 7410
根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位 数的个位必须是0，而十位、
百位、千位上数字的和是3的倍数。
为了使这个四位数尽可能最 大，千位上的数字应从所给的6个数字中挑选最
大的一个.从7开始试验,7+4+1=12,其和是3 的倍数,因此其中最大的数是7410.

10. 300
∵66„6=2

3

11„1

100个 100个
显然连续的2能被2整除,而要被3整除,2的个数必须是3的倍数,又要被
11„ 1整除,2的个数必须是100的倍数,所以,最少要有300个连续的2方能满
100个

足题中要求.答案应填300.





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