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数的整除

知识框架

一、整除的定义：
当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数 ），则称a被b整除或b整除a，也把a
叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得 的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不
整除a，记作b a.

二、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数 字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整
除；
4. 如果一个 整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、
11或1 3整除；
5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；
6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数 都有
两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这 个
数一定是99的倍数。
7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2倍，如果差是7的倍数，则原数能被
7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上 述「截尾、倍大、相减、验差」的
过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如 下：13－3×2＝7，所以133是7
的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 －9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是
7的倍数，余类推。
8. 若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被
13整 除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」
的过程， 直到能清楚判断为止。

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9. 若一个整数的个位数字截去，再从余 下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被
17整除。如果差太大或心算不易看出 是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」
的过程，直到能清楚判断为止。
10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原 数能被
19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验 差」
的过程，直到能清楚判断为止。
11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.
13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

三、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，
那么bd｜ac；

四、其他重要结论
1、 能被2和5 ，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可
以概括成 一个性质：未n位数能被
2
n
(或
5
n
)整除的数，本身必 能被
2
n
(或
5
n
)整除；反过来，末n位数
不能 被
2
n
(或
5
n
)整除的数，本身必不能被
2n
(或
5
n
)整除。例如，判断19973216、91688169能 否能被
16整除，只需考虑未四位数能否被16（因为16=
2
4
）整除便可 ，这样便可以举一反三，运用自如。
2、 利用连续整数之积的性质：
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除；
任意三个连续 整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，
也可被3整除，所 以也可以被2×3=6整除。

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这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3、 一个奇位数，原序数与反序数的差一定是9 9的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍
数。
4、
7111 31001
；
abc1001abcabc
，
abcabc
这 样的数一定能被7、11、13整除。
;373111;3727999
等等。 5、
91137;133197;4813713;139117

重难点

数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实 际问题中应用广泛。要学
好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

例题精讲


【例 1】
975935972 □
，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？





【巩固】





【例 2】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零 ，那么
最后出现的自然数最小应该是多少？





【巩固】
201202203300
的结果除以
10
，所得到的商再除以
10
……重复这样的操作，在第
从50到100的这51个自然数 的乘积的末尾有多少个连续的0？
____次除以
10
时，首次出现余数.