颜玉宏-经典爱情宣言

数的整除
【知识精读】
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商AB是整数,那么叫做A被B整除. 0
能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除 数 能被整除的数的特征
2或5 末位数能被2或5整除
4或25 末两位数能被4或25整除
8或125 末三位数能被8或125整除
3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11
11 整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13 从右向左每三位为一 段,奇数段的各数和与偶数段的各
数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743 ，
17567，21281等)
▲能被7整除的数的特征：
①抹去个位数
②减去原个位数的2倍
③其差能被7整除。
例如： 1001 100－2＝98（能被7整除）
7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
▲能被11整除的数的特征：
①抹去个位数
②减去原个位数
③其差能被11整除
例如： 1001 100－1＝99（能11整除）
10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数
328
和
2x9
的和仍是三位数
5y7
且能被9整除。求x,y



例2己知五位数
1234x
能被12整除，求X




例3求能被11整除且各位数字都不相同的最小五位数

【实战模拟】
1 若四位数
987a
能被3整除，那么 a=_______________
2 若五位数
12X34
能被11整除，那么X＝__________-
3 当 m=_________时，
35m5
能被25整除
4 当 n=__________时，
9610n
能被7整除
5 能被11整除的最小五位数是________, 最大五位数是_________
6 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是
_________
7 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152， ⑧
70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
8 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
9 由1，2，3，4，5这五个自然数， 任意调换位置而组成的五位数中，不
能被3整除的数共有几个？为什么？


10 己知五位数
1234A
能被15整除，试求A的值。


11 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。



练习：
1．设
a
，
b
是整数，且
b0
，如果存在整数
c
，使得
abc
，则称
b
整除
a
，记
作
b|a
.
例如：

818
，

1|8
；

551
，

5| 5
；

1025
，

2|10
.
（1）若
n|6
，且
n
为正整数，则
n
的值为 ；

4k31

（2）若
7|2k1
，且
k
为整数，满足

k
，求
k
的值.
5


3

2.若 整数
a
能被整数
b
整除，则一定存在整数
n
，使得
数
a
能被整数3整除，则一定存在整数
n
，使得
a
n，即
abn
。例如若整
b
a
n
，即
a3 n
。
3
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表
示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。
例如：将数字 306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所
以3063 71能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。
（2）如果一个自然数各数位上的数字 从最高位到个位仅有两个数交替排列组
成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12 121212从最高位到
个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：6 56,9898,37373，
171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都 能被13整除。
3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运
算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二
次运算，……如此重复 下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称
为“快乐数”．例如：
3232
2
2
131
2
3
2
1012
0
2
1
，
707
2
0
2
494
2
9
2
979
2
7
2
1301
2
3
2
0
2
101
2
0
2
1
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的 两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快
乐数”经过若干次运算后都不可能得 到4；
（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”
与它的 各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．

4. 若一个整数能表示成
a
2
b< br>2
（
a
，
b
是整数）的形式，则称这个数为“完美
数 ”.例如，5是“完美数”，因为
52
2
1
2
.再如，
，所以
M
也是“完美数”.
Mx
2
2xy2y
2< br>(xy)
2
y
2
（
x
，
y
是 整数）
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；
（2）已 知
Sx
2
4y
2
4x12yk
（
x，
y
是整数，
k
是常数），要使S为
“完美数”，试求出符合条 件的一个
k
值，并说明理由.
（3）如果数
m
，
n
都是“完美数”，试说明
mn
也是“完美数”.







5．连续整数之间有许多神奇的关系，
如：3< br>2
+4
2
=5
2
，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和 等于最大数的平
方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，
c（a＜b＜c）
若a
2
+b
2
=c
2
，则称这 样的正整数组为“奇幻数组”；
若a
2
+b
2
2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；
若a
2
+b
2
>c< br>2
，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；
（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
3
2
+4
2
+5
2
若有3个连续整数：
25
=2；
10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
若有 5个连续整数：=2；
365
21
2
+22
2
+232
+24
2
+25
2
+26
2
+27
2
若有7个连续整数：=2；
2030
…
由此获得启发，若存在n（7数．

6．有一个n位自然数
abcd
bcd
gh
能 被
x
0
整除，依次轮换个位数字得到的新数
ghab
能被
x
0
2
整再依次轮换个位数字得到的新数
cdgha
能被
x
0
1
整除，
…，
habcghabc
能被
x0
3
整除，
gh
是
x
0
的一个“轮换数”.
除，按此规律轮换后，
d
则称这个n位数
abcd
g
能被< br>x
0
n1
整除，
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两 位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除， 则称三位数324是2
个一个“轮换数”.
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的 2倍，求证这个两位自然数一
定是“轮换数”.
（2）若三位自然数
abc
是3的一个“轮换数”，其中
a2
，求这个三位自然数
abc
.





7. 60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除 ，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2
个一个“轮换数”.
（1） 若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一
定是“轮换数”.
（ 2）若三位自然数
abc
是3的一个“轮换数”，其中
a2
，求这个三位自 然数
abc
.

8.若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得
n
，即
abn
，例如：
若整数a 能被11整除，则一定存在整数n，使得
a
n
，即
a11n
，一个能被
11
a
b
11整除的自 然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之
和的差能被11整除,如：425 59奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之
和为2+5=7，18

7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”.
①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；
②若七位整数
175m62n
能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。





9.对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后(包括本身)，得到一个新
的三位数 ，在所有重新排列的三位数中,当|a+c−2b|最小时,称此时的
为t的“最优组合”，并 规定F(t)=|a−b|−|b−c|，例如：124重新排序后为：142、
214、因为|1+4 −4|=1，|1+2−8|=5，|2+4−2|=4，所以124为124的“最优组合”,
此时F (124)= −1。

(1)三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字 的平均数,求证：
F(t)=0。

(2)一个正整数，由N个数字组成，若从左向 右它的第一位数能被1整除，它的
前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被 N整除，
我们称这样的数为“善雅数”。例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两
位数 12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”。若三
位“善雅数”m=20 0+10x+y(0⩽x⩽9，0⩽y⩽9，x、y为整数)，m的各位数字之和
为一个完全平方数，求 出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值。





10.阅读下列材料，解决后面两个问题:
一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”。“灵动数”的特征是: 若把一个整数
的个 位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数(包
括0) 则原数能被1 7整除。如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继

续上述的“截尾、倍大、相 减、验差”的过程，直到能清楚判断为止.
判断1675282能不能被17整除。

，16751-8

5=16711，1671- l

5= 1666，166-6

5= 136，到
这里如果你仍然观察不出来，就继续....6

5= 30 ，现在个位

5=30>剩下的13,就
用大数减去小数30-13= 17, 17是17的1倍; 所以1675282能被17整除.
(1) 请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由;
(2) 已知一个四位整数可表示为 ,其中个位上的数字为n,十位上的数字为m，
0