蒙台梭利教育理念-筷子兄弟老男孩歌词

最新小学五年级奥数练习题思维第二讲
基础知识：
1. 整除的定义、性质 .定义：如果a
、
b
、
c是整数并且
b0
，
a b=c
则称a能被b整除
或者b能整除a，记做
ba
，否则称为a不能被 b整除或者b不能整除a，记做
b|a
.
性质1：如果a
、
b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.
性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.
性质3：如果b
、c都能整除a，并且b
、
c互质，那么b
、
c的乘积也能够整除a.
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.
性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a
，
b互质，那么c能够被a整除.
2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.
3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.
4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；
被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.
例题：

例1、如果六位数
2012□□
能够被105整除，那么后两位数是多少？
解：设六位数为
，
105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3
∣
a+b- 1，b=0
或5, 7
∣
(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后两位为85.

例2、求所有的x，y满足使得72
∣
.
解：72=8×9，根据整除9性质易得x+y=8或17，根据整除4 的性质y=2或6，分别可
以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.

例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费
□67.9□
元， 其中
□
处字迹已经模
糊不清，请你补上
□
中的数字并且算出每只羽毛 球的单价.
解：设两个
□
处的数字分别是a
、
b，则有 143
∣
再根据13
∣
，
根据11
∣
，
有 a+b=8，
，
所以13
∣
(100a+67-90-b)，再根据a+b= 8得到13
∣
（10a-5）解得a=7 b=1
所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.

例4、把若干个自然数1, 2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后
的自然数至少是多少？
解：最后14位都是0说明这个乘积整除10
14
，由于1×2×3×…中 因数2比因数5多
得多，只需考虑其整除5
14
，5的倍数但是不是25的倍数可以提 供一个因数5，25的倍数但
是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这 个自然数至少是60.

例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.
解：

，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组 成的3

位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只 有12种取法，经实验只
有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.

例6、 要使六位数
解：

. 考虑
能够被63整除，那么商最小是多少？
能
被7整除，于是有7
∣
(100b+10c+6-100-a)，整理得
7再考虑该数能被9整除，有a+b+c=2或11或20. 由于要求最小的商也就是
∣
(2b+3c-a+4)，
最小的被除数，先希望a=0. 此时，易验证b=0, b=1无解，而在b=2时，有解c=9，所以最
小的被除数是100296，最小的商是1592.

例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？
解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个
数，
900002520351800
，
1000025203 2440
，所以共有36个.

例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？
解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中
1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2 =2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中
1+1=1+1、2+2=2+2、3+3 =3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情
况相同可以得 到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.

例9、已知（重复99次）能够被91整除，求.
解：根据7和13的整除判断方法7（ 13）
∣
（
重复99次）有7（13）
（
重
∣
（重 复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）
∣
，得到 =455，所以=55. 复98次），以此类推，就有7（13）
∣

例10、已知 11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中
最小的是多少？
解：因为连续11个数是343的倍数，而
3437
3
，但是11个数 中之多有两个是7的倍数，
所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却 是10000的倍数，
所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要 保证有2个7
的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.


数学万花筒——趣题欣赏：
1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99 中选取了两个数。他把这两个数
的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。 但孙膑和庞涓彼此不 知到对方得到
的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你

一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说：那我也知道了。问这两个数是什
么？这个原问题可能很复杂，现在告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓和孙膑不知
道），你能指 出孙膑和庞涓每句话的逻辑含义和这两个数么？
解：2个人都不知道说明两个人得到的数 都存在不止一种的分解方法，庞涓的话说明
讲他得到的数分解成两个数的和，这两个数的乘积都存在另一 种分解方式，而之后孙膑的话
说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是5-197之中的某几个，而他 所得到的乘积的各种
分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得到的数种。而庞涓最后一句话则说明， 孙膑对
于自己的数的猜测让庞涓否定了和的其他分解方式。
具体解法是考虑庞涓得到 的数，一定是5-29，先否定质数+2，可以分解成两个质数的
和的偶数，还剩下6、8、11、17 、23、27、29. 容易否定6、8，然后对于每种和的分解利
用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13.

2、
一枚，三枚，还是四枚
有一种硬币游戏，其规则是：（1）一堆硬币 共九枚.（2）双方轮流从中取走一枚，三
枚或四枚.（3）谁取最后一枚谁赢.两人中是否必定会有一 人赢？如果是，如何取？
答：后手必胜.如果因为在剩余5枚的时候先手取3枚必胜.在有9枚时，如 果先手去4枚则
后手取3枚，如果先手去3枚则后手取4枚.如果先手取一枚则后手取一枚.此时还剩7 枚，
此时先手只能取1枚，后手再取4枚即可获胜.

作业题：
1. 已知六位数
293040）
2．
5555555□9999999
是7的倍数，求空格中的数字.（答案：3）
3. 一个三位数，它的百位数字是4，加9能被7整除，请问这个数是多少？ （答案=439）
4. 请证明六位数 一定能被7、11、13整除.（证明略）
能够被720整除，请问这 个六位数是多少？（答案=213840或者
5．已知自然数A的各个数位上的数码之和与3A的各个数 位上的数码之和相等，证明A必
能被9整除. （3A数字和是3的倍数，A的也是，所以A能被3整除 ，所以3A能被9整除，
所以数字和是9的倍数，所以A的也是，所以A能被9整除.）

课堂练习题：

班级________

1、 如果一个数
姓名___________ 得分______
能被72整除，求a+b.
答案：a+b=6.整除8的性质可以推出b=2，整除9的性质可以推出a=4.

2、 请根据7、11整除判断方法的推导和证明，类比推出对于17的整除判定（提示
17× 59=1003）

答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被7、11、13整除

3、 用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整
除？ 解 ：1+4=2+3，所以1，4在偶数位，2和3在奇数位或者1和4在奇数位，2和3
在偶数位，共有 2×2×2=8个.

4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大 的两个数的和最小是
多少？
解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意连续的3个数，只要其中有两个偶数都满足要求，
所以可以找到2，3，4，6. 容易验证没有更小的符合题目要求的解.

5、15位同学分别编号1-15，1号同学写下 了一个不少于6位的数，后面每个人都说这个数
能被自己的编号整除，经验证，只有连续两个编号相连的 人说错了，请问这个数至少是多少？
答案：2,3,4,5,6,7都必须能整除五位数，否则不 能满足题意，所以10,12,14,15也能整除这
个五位数，因此这个数不能被8、9整除.所以这 个数至少整除4×5×7×11×13=60060. 因为这
个数至少是六位而又不能被8、9整除，所以这个数至少是60060×5=300300.

6、请问是否存在一个数以7结尾的数，把7挪放到第一位之后得到的数恰巧等于原来的数< br>的7倍. 若存在，请答出这个数的位数，若不存在，请证明.
答案：22位，竖式乘法即可得出答案.