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小学奥数专项训练题：数的整除问题

数的整除问题奥数专项训练题

1.整除——约数和倍数

例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b= c，即整数a除以整
除b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是
0 )，我们就说，a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则，称
为a不能被b整除，(或b 不能整除a)，记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约
数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数;63是7的
倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整
除。

即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。

例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，

并且2|(10—6)。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即 ：如
果bc|a，那么b|a，c|a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积
能整除a。

即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。

例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,

那么(2×7)|28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c|b，b|a，那么c|a。

例如：如果3|9，9|27，那么3|27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整
数.“特征”包含两方面的意义：一方面 ，个位数字是偶数(包括0)的
整数，必能被2整除;另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是< br>偶数(包括0).下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3(或9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)
整除。

④能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。

例如：1864 =1800+64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4
与25的倍数.又因为4|64， 所以1864能被4整除.但因为2564，所以
1864不能被25整除.

⑤能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能被8(或125)整除。

例如：29 375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以
29000是8与125的倍数 .又因为125|375，所以29375能被125整除.
但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶
数位上的数字之和 的差(大减小)是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除?

解：这个数奇 数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数
字之和是8+6+4+2=20.因为2 5—20=5，又因为115，所以。

再例如：判断13574是否是11的倍数?

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上 数字和的差是：
(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.所以13 574是
11的倍数。

⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末 三位数与末三
位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数?

解：把1059282分为1 059和282两个数.因为1059-282=777，又
7|777，所以7|1059282.所 以1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除?

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再
把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以
13|2821 ，进而13|3546725.