川普访华-期末考试成绩分析

第九讲 整除和位值原理







整除问题


1.整除的概念

2.整除的基本性质

3.数的整除特征

4.位值原理

5.位值原理的表达形式


1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。

例1：证明：当
ac
时，
abccba
必是9的倍数。

例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得< br>到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。

例3： a，b，c是 1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之
和是（a+b+c）的多少倍？

例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是
多少？

例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等< br>于原来的三位数，求原来的三位数。


A
1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数
是 ．

2
2.有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个 判断：①(a+c)
22222
不能被b整除，②a+c不能被b整除：③(a+b)不能被c 整除；④a+b不能被c整除，其
中，不正确的判断有( )．
A．4个 B．3个 C 2个 D．1个

3.已知7位数
1287xy6
是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．

4.(1)一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余 6，被6除余5，被5
除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是 ．
(北京市竞赛题)
(2)若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于( )．
A．15 B．1 C．164 D．174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设N=
11

1
，试问N被7 除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
1990个

5.盒中原有7个球 ，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放
回盒中，他又从盒中任取一些小 球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进
行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒 中球的总数可能是( )
A．1990个 B．1991个 C 1992个 D．1993个
B
6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?

7.某商场向顾客发 放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999
号，如果号码的前两 位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：
这个商场所发放的购物券中，所 有的幸运券的号码之和能被101整除．

8.写出都是合数的13个连续自然数．

9.已知定由“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式20+5b=c，则a+b+c是 整数n的倍数”．试
问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论．
10.一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大
数和一 个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求
所有的三位“新生数 ”．

11.设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c (a、b、c 不全相等)，将其
各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：
abc,acb,bac, bca,cab,cba
，不妨设其
中的最大数为
abc
，则最小数为
cba
．由“新生数”的定义，得N=
abc
—
cba
=(100 a+l0b+c)
一(100c+l0b+d)=99(a—c)．

C
12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到
1 1的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11
的同学留下 ，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，
其余同学出列．问最 后留下的同学有多少?他们的编号是几号?

、bac、bca、cab、cba
的 和N，把N13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数
abc

告诉 魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数
abc
．现在设N=3194，请你做魔术师，< br>求出数
abc
来．

14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按 团队票优惠．现有A、B、C三个旅游团共72
人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384 元、480元；如果三个团合起来购票，
总共可少花72元．
(1)这三个旅游团各有多少人?
(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．

售 票 处

普通票 团体票(须满 人)

每人


15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A和B乘积的
最大值．


16.任给一个自然数N，把N的各位数字按相反的顺序写出 来，得到一个新的自然数N′，试
证明：
NN

能被9整数．

111112113
17.证明：111+112十113能被10整除．


1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？
28、96、120、225、540、768、423、224、292

2.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B能被12整除，求这两个五位数。

3.有一个四位整数16□□，如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那么这个 四位
数的末两位上应是什么数？

4.要使六位数
18ABC6
能 被36整除，而且所得的商最小，问这个六位数是多少？

5.已知2002年的1月l日是星期二，那么
（1）2002年的12月5日是星期几？
（2）20年后的1月l日将是星期几？

6.检验下面的算式是否正确：
（l）65343+35892+38462=139587
（2）2708×358=968464。

7.已知两个整数相除商是13，余数是8，并且被除数与除数的差是308，求这两个整数。

8.有一列数字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7…（1）第307个数是多少？ （2）这307
个数相加的和是多少？







1.在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7 □36□能被
24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．

2.把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．

3.希 希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，
橡皮每块6分，其 余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请
问售货员的帐算错了没有？为 什么？

4.三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这 四个数的平均数是一
个整数．

5.甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数的商是11，余数是32，求甲、乙两的数值。

6.小雨有一盒糖，每7颗一数还余4颗，每5颗一数又少3颗，每3颗，每3颗一数恰好数

完，这盒糖至少有多少颗？

7.今年国庆节是星期三，10月17日是星期几？

8.节日的街上挂起了一串串 的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2
盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第19 96盏灯是什么颜色？


小学数学文化知识
圆田术
刘徽 (大约1700年前)是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算
术》方田章“圆田术”注中提出把割圆术 作为计算圆的周长、面积以
及圆周率的基础。刘徽从圆内接六边形开始，将倍数逐次加倍，得到
的圆内接正多边形就逐步逼近圆。
查票
老教授搭乘火车旅行，列车长前来查票时，他竟找不到票，老教授
急得满头大汗，列车长说：找不到就算了，再补张票好了。
老教授：这怎么可以，找不到那张票，我就不知道我要去哪里啊！