能被2、3、5整除的数
没有车没有房-早春呈水部十八员外
能被2，5整除的数的特征
同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数。
同学们还知道，两个整数相
加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不
小
于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除
以除数，商是
整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整
除。例如，
84能被2
，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21
都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16„„4，有余数4。也不能被13整除，
因为8
4÷13=6„„6，有余数6。
因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。
什么样的数能被2或5整除。
1.能被2整除的数的特征
因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4
，6，8五种情况，所
以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，凡是个位数
是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数
一定不
能被2整除。
例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
0，2，4，6，8，10，12，14，„就是全体偶数。
1，3，5，7，9，11，13，15，„就是全体奇数。
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数，
偶数±奇数=奇数，
奇数±偶数=奇数，
偶数×偶数=偶数，
偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
例1：在1～199中
，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和
谁大？大多少？
【巩固练习】
在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁
大？大多少？
例2：(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？
1×3×5×7×9×11×13×14×15。
【巩固练习】
不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5；
(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；
(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；
(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。
2.能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=
40，„可以推想任何一个
偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=
45，„可以推想，任何一
个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除
的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0
或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0
或5的整数一定不能被5整除。
例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，26
4，3588等都不能被5整除。
例3：由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？
【巩固练习】
用0，1，
2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除
的有几个？能被2整除的有几个
？能被10整除的有几个？
例4：下面的连乘积中，末尾有多少个0？
1×2×3ׄ×29×30。
【巩固练习】
下面的连乘积中，末尾有多少个0？
20×21×22ׄ×49×50。
能被3整除的数的特征
有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？
我们先具体观察一些能被3整除的整数：
18，345，4737，25674
18能被3整除，1+8=9也能被3整除；
345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；
4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；
25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。
怎么这么巧？我们再试一
个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3
整除。好了，不用再试了
，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数
的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。
它的一般性证明这里无法介绍，
我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
由99和9都
能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，
推知(7+4+1)能被
3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。
因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：
如果整数的各位数字之和能被3整除，
那么此整数能被3整除。如果整数的
各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。
例5：判断下列各数是否能被3整除：
2574，38974，587931。
【巩固练习】
直接判断下列各数能否被3整除。
25874，978651，1398768,224784789,98744794
例6：六位数能被3整除，数字a=？
【巩固练习】
4747444794b293890能被3整除，数字b=?
例7:由1，3，5，7这四个
数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3
整除？
【巩固练习】
由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
例8：同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？
【巩固练习】
(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？
(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？
能被4，8，9整除的数的特征
数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定
能被丙数整
除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被
这个自然数整除
。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3
整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两
个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7
互质，那么126能被
9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一<
br>步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2
整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）
整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）
整除
。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习
的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4
（或25）整除。因为任
何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之
和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位
数能被4（或25）整除，这个
数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除
的性质1和性质2知，（8x99＋
3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被
9整除，就能判断
837能被9整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例9：在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728，8064。
【巩固练习】
3456，787816，3771,274256,212256
例10：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四
位数分别能
被9，8，4整除？
【巩固练习】
从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的
没有
重复数字的四位数？
例11：五位数
【巩固练习】
要使六位数
字？
能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数