油衷感谢-插

整除与余数
整除问题与余数问题是数学中的重要问题，也是重点中学招生命题的热点之
一，这部分知识概念多，抽象性，综合性和应用的广泛性较强。
知识要点：
一. 数的整除特征：
1. 能被2整除的数，末位是0，2，4，6，8；
2. 能被3或9整除的数，各个数位数字之和能被3或9整除；
3. 能被5整除的数，末位为0或5；
4. 能被4或25整除的数，末两位数能被4或25整除；
5. 能被8或125整除的数，末三位数能被8或125整除；
6. 能被11整除的数，奇数位数字和与偶数位数字和的差（大数减小数）能被
11整除；
7. 能被7，11，13整除的数，这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的
数字所表示的数的差分别 能被7，11，13整除。

二. 整除的性质：
1. 如果两个数都能被同一个自然数（0除外）整除，那么它们的和（或差）也
能被这个自然数整除；
2. 如果一个数
a
能被另一个自然数
b
（0除外）整除，那么a
的整数倍也能被
b
整
除；
3. 如果一个数能被某个自然数 （0除外）整除，这个自然数又能被另一个自然
数（0除外）整除，那么这个数也能被后一个自然数（0 除外）整除。

三. 被除数、除数、商和余数的关系： 被除数=除数×商+余数（其中0≤余数＜
除数）

四. 如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，那么余数
也随着扩大或缩小相同的倍数。

例一. 从1、2、3、4、5、6这6个数任意取3个数组成三位数，其中能被6整
除的有几个？






例二. 有一个四位数
5mm2
，它能被9整除，则
m
代表 。




例三. 将从1开始的自然数的平方连续写成一个自然数， 当写到
4
2
16
时，这
个自然数14916第一次能被11整除， 当写到 的平方时，这个自
然数第二次能被11整除。



课堂练习：
1. 写出一个能同时被2、3、5整除的最小的三位数。




2. 在2、3、5、7、9中任选四个数字，组成被3和5除都余2的四位数，请写
出四个这样的四位数。





课后练习：
1. 两数相除，商是3，余数是10，被除数。除数、商和余数的和是143，被除
数和除数分别是多少？






2. 678除以一个数，商是13，并且除数与余数的差是8，除数是 ，余数
是 。