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学科：奥数
教学内容：第5讲 整除和带余除法


知识网络
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如：星期、月份、生肖 都
是按顺序不断重复出现的。在数学问题中也会常碰到一些和重复出现有关的问题。就需要用
到 有关整除的知识。
1．整除的一些性质
（1）可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整
除。 < br>（2）可被3整除的数的特征是：如果一个数的各个位上的数字之和能被3整除，那么
这个数能被 3整除。

（3）可被4（或25）整除的数的特征是：如果一个数的末两位数能被4（或 25）整除，
那么这个数就能被4（或25）整除。
（4）可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5
整除。
（5）可被8（或125）整除的数的特征是：如果一个数的末三位数能被8（或125）整
除 ，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）可被9整除的数的特征是：如果一个数 各个数位上的数字之和能被9整除，那么
这个数就能被9整除。
（7）可被11整除的数的特 征是：如果一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的
差能被11整除，那么这个数就能被11整除 。

（8）数的整除的性质
1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数
整除。
3）如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自
然数的乘 积整除。

2．有余数除法
两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
可表示为：（1）被除数÷除数=商„„余数
（2）被除数=除数×商+余数

3．余数的特征
（l）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数， 与它的各位数字之和除以9的余数相同。这个余数也叫做
这个数的“弃九数”或“九余数”。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得
的差除 以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇
数位上的数字之和上 再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和，或用偶数位数字

之和减去奇数位数 字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。

重点·难点
掌握整除的 性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征以及除数为4、
8、9、11的余数 特征。

学法指导
在解答数字实际问题的过程中，有时需要判断一个数能被哪些 数整除，或者说用哪些数
去除能整除，如果不直接用除法，就需掌握一些数的整除的特征，才能作出准确 的判断。对
于有余数的除法，也需适当地掌握一些余数的特征。

经典例题
[例1]在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？
28、96、120、225、540、768、423、224、292

思路剖析
由可以被4、9、3整除的数的特征来考察这些数。可被4整除的数要看数字的末两 位。
可被9或3整除的数的特征相似，都是要先求出各个数位上的数字之和能否被9或3整除。

解答
能被4整除的数：28、96、120、540、768、224
能被9整除的数：225、540、423
能被3整除的数：96、120、225、540、768、423、294
[例2]（1） 五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B能被12整除，求这两个五
位数。

思路剖析
由于12=3×4，且3与4互质，那么能被12整除的数应具有的特点是既能被3 整除也
能被4整除。

解答
（1）A1A72可被3整除则A+1+A +7+2=10+2A能被3整除，A取l、4。因为末两位数
72可被4整除，那么A1A72可被4 整除。
所以这个五位数是1l172或41472。
（2）4B97B可被3整除，则4+ B+9+7+B=20+2B能被3整除，B取2、5、8。再由能
被4整除的条件，末两位数7B要能 被4整数，B可以取2或6。同时符合上述两个条件的
B取值只有2，所以这个五位数是42972。

点津
如果要求的数不是被2、3、4、5、8、9、11整除的数，我们可以将 除数因式分解后，
分解成由上述这些数字构成的几个因式的积，通过运用已有的规律，找到适合的解。

[例3]有一个四位整数16□□，如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那 么
这个四位数的末两位上应是什么数？

思路剖析
由于满足能被2、3 、4整除的数比较多，所以先来看满足可以被5整除的数的特点，即
个位数是0或5。但若在个位填5， 则不满足可以被2整除的条件，所以个位数字一定是0，
若使这个四位数可以被4整除，则□0是4的整 数倍，满足条件的有00、20、40、60、80。
最后再用可被3整除的条件来限制，找出正确的答 案。

解答

在1600、1620、1640、1660、16 80这些数中易知1620与1680可以被3整除。
则这个四位数的末两位上是20或80。

点津
当所求答案的限制条件较多时，首先考虑的条件应是可以确定缩小寻找答案 范围的条
件。如本题中可以被5整除这个条件，就是应先考虑的条件。
[例4]要使六位数< br>18ABC6
能被36整除，而且所得的商最小，问这个六位数是多少？

思路剖析
由于
18ABC6
能被36整除，36=4×9，且4与9互质， 所以这个六位数既能被4整除，
又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小， 其次是B尽量小，
最后是C尽量小。

解答
使
18ABC6< br>能被4整除，则
C6
能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。
使18ABC6
能被9整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。要使所得的 商最
小，就要使
18ABC6
这个六位数尽可能小，即
ABC
尽量小 。因此首先是A尽量小，其次
是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。此六位数的数字之和为A+ B+C，欲使B、C
尽量小，而且（15+B+C）能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3， 且C只能取l、3、5、
7、9。则C=3，B=0。
当A=0，B=0，C=3时，此六位 数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。

[例5]已知2002年的1月l日是星期二，那么
（1）2002年的12月5日是星期几？
（2）20年后的1月l日将是星期几？

思路剖析
因为星期是按规律重复出现的现象，星期一、星期二、„„星期日、星 期—„„每7
天重复一次。所以要知道12月5日是星期几，须知从1月1日到12月5日之间有多少个 7
天。
求20年后的某天是星期几的算法相同。

解答
（1 ）在2002年中从1月至12月，其中2月是28天，l、3、5、7、8、10月都是31
天，4、 6、9、11月都是30天，因此从1月1日到12月5日总共有，28+6×31+4×30+5=339（天）
由于一星期有7天，339=7×48+3，所以从1月1日到12月5日的339天中， 共有48
星期零3天，这3天就是从星期二起的3天，第三天是星期四。所以12月5日是星期四。 < br>（2）先求出这20年总共有多少天。由于每年有365天，20年就有20×365=7300（天），
而每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，所以20年总共有20×365+5=7305（天）。
由于一个星期有7天，7305=7×1043+4说明20年中有1043个星期零4天，2002年 1
月1日是星期二，所以20年后的1月1日从星期二往后推4天，应该是星期六。

点津
在求解第一问时，所求得的总天数中包含了2002年1月1日这一天，所以在推算星期
几时，从1月1日这天开始算。而第二个问题的总天数中没有将2002年1月1日这天算入，
因此在推算星期几时，从1月2日这天开始计算。
[例6]检验下面的算式是否正确：
（l）65343+35892+38462=139587

（2）2708×358=968464。

思路剖析
根据余数的特征，我们可以利用“弃九数”，不经过计算判断正误。等号左右两边若弃
九数相等，则等式 可能成立。若弃九数不等，则等式一定不成立。而且两个因数的弃九数相
乘，所得的数的弃九数应当等于 两个因数的乘积的九余数。如果不等，则乘法计算有错误。

解答
（1）求各个加数的弃九数：
65343（6+5+3+4+3）÷9=2„„3
35892（3+5+8+9+2）÷9=3„„0
38462（3+8+4+6+2）÷9=2„„5
139587（1+3+9+5+8+7）÷9=3„„6
等号左边弃九数的和：3+5=8，右边弃九数为6。8≠6，则原算式计算有误。

（2）2708（2+7+0+8）÷9=l„„8
358（3+5+8）÷9=1„„7
8×7=56（5+6）÷9=1„„2
968464（9+6+8+4+6+4）÷9=4„„l
左边乘积的弃九数为2，右边结果弃九数为1。2≠1，所以此算式有误。


点津
用弃九数对运算进行验算时：
（l）先求出算式左边几个加数（因数）各自的弃九数；
（2）对这几个弃九数按原来的运算 顺序和运算方法进行运算，求出结果，再计算出结
果的弃九数；
（3）比较算式左右两边得数 的弃九数。若不相同，则计算有误。若相等，则原来的运
算可能正确。
[例7]已知两个整数 相除商是13，余数是8，并且被除数与除数的差是308，求这两个
整数。

思路剖析
由题中条件有：被除数÷除数=13„„8
被除数- 除数=308，即被除数比除数大12倍多8，那么308=除数×12+8，则两数可求。

解答
除数=（308-8）÷（13-l）
=25
被除数=308+25=333
答：被除数是333，除数是25。
[例8]有一 列数字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7„（1）第307个数是多少？（2）
这307个数 相加的和是多少？

思路剖析
观察这一列数的循环规律，是按照l、2、9、4 、7这个顺序每五个数依次重复排列的，
一个循环是5个数，要看307个数中有几个这样的循环。

解答
（1）307=5×61+2可知307里面有61个（1、2、9、4、 7），还余两个数，所以第307
个数是2。
（2）每个循环之和：l+2+9+4+7=22，307个数中有61个循环及一个l、一个2。

所以这307个数的和为：22×61+l+2=1345
答：第307个数是2，307个数的和为1345。


发散思维训练
l．从l、5、9、13、„、997中，任意找出200个数，把它们乘起来 ，积的个位数字是
多少？
2．将所有的自然数排列起来，如下列所示，38应排在哪个字母下 面？96应排在哪个字
母下面？309应排在哪个字母下面？
A B C D E F
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13„ „

3．将2002个学生按下列方法编号排成六列：
一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 19 20 21
„ „ „ „ „
问第2002个学生应站在第几列？

4．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴 、鸡、狗、猪12种动物依次代表各年的年号。
如果公元1年属鸡年，那么公元2002年属什么年？
5．求下列各数除以11的余数：
（1）41873
（2）296738385

6．六位数
A8962B
能被99整除，求A和B。
7．将自 然数1，2，3，„，依次无间隔地写下去，组成一个数11121314„„
如果写到自然数100， 那么所得的数除以9的余数是多少？
8．用1、2、3、4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？
9．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
10．小丁在计算有余数的除法时，把 被除数137错写成173。这样商比原来多了3，而
余数正好相同，你能够算出这道题的除数和余数各 是多少吗？
11．有一列数2，9，8，2，6、„，从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个 位
数字。问这一列数第100个数是几？



参考答案
发散思维训练
1．解：

在1、5、9、13、„„、9 97中共有250个自然数。而且个位数字只能为1、3、5、7、
9。因此把这些奇数分为两类： < br>一类是个位数字为5的：5、25、„985共50个自然数。另一类是个位数字不为5的：
共有 250-50=200（个）自然数。
任意取出200个自然数分成两种情况进行考虑：
① 若这些自然数中有个位数字为5的，则这200个数的乘积个位必为5。因为5与奇数
相乘个位为5。
②若这些自然数中不含个位数字为5的，则这200个数的乘积的个位数字为：
(193 7)(1937)

(1937)
 
200450(组)
的个位数字。1×9×3×7的个位数字
(1 937)(1937)

(1937)
 
50(组)
为9，则50个9相乘的个位数字为1。那么
的个位数 字为1。
综上所述，这200个自然数的乘积的个位数字为1或5。

2．解：
排列规律按从小到大6个数一个循环。
38÷6=6„„2，96÷6=16
309÷6=51„„3
所以38排在第6个循环的第2个字母B的下面。96排在第16个 循环的第6个字母F
下面。309排在第51个循环的第3个字母C的下面。

3．解：
这些学生的排列顺序是：除第一排1~6个外，从第二排起都是按10个数一个循环 依次
不断重复出现。（2002－6）÷10＝199„„6，第2002个学生在第199个循环后第 6个数。
所以第2002个学生站在第二列。

4．解：
总共有12种 动物，因此12为一个循环。由于公元一年是鸡年，把狗、猪、鼠、牛、虎、
兔、龙、蛇、马、羊、猴、 鸡的顺序看作一个循环，这个公元1年的鸡年是第一循环前的最
后一个鸡年。从公元2年至公元2002 年共2001年，2001÷12＝166„9，从狗年开始数9
年，公元2002年是马年。

5．解：
一个数除以11的余数的特征：
（1）41873［（4+8+3）－（1+7）］÷11＝7÷11=0„„7
所以41873除以11的余数是7。
（2）296738385奇数位之和：2+6+3+ 3+5=19，偶数位之和为9+7+8+8＝32。因为19＜
32，所以给19增加11的整数倍， 使其大于32。
（l9+11×2）－32=9
所以296738385除以11的余数是9。

6．解：
由99=9 ×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为此六位
数能被9整除，所以A +8+9+6+2+B=25+A+B应能被9整除，由此推知A+B=2或11，再由
此六位数能被1 1整除知：（A+9+2）-（8+6+B）=A-B-3，应能被11整除，即A-B-3=0或
A- B-3＝11化简得A-B=3或A-B=14因为A+B与A-B同奇同偶，所以有

AB2

,所以无解
。 （1）

AB 14
A2与A14不能同时满足


AB11
（2）

AB3
将两式相加，得（A+B）+（A-B）=11+3
2A=14
A=7
将A=7代入A-B=3，B=7-3=4
所以A=7，B=4。

7．解：
因为这个自然数各个数位的和是数列1，2，3，4，„„，100的和。
由等差数列求和公式，这100个数的和为：（1+100）×100÷2=5050
5050的数字和：5+0+5+0=10
10÷9=l„„l
因此此题中的数除以9余1。

8．解：
因为1+4=2+3（l+4）-（2+3）=0
所以可将l、4和2、3分别置于这个四位数的奇数位和偶数位。
得到1243，1342， 2134，2431，3124，3421，4213，4312是能被11整除的四位数。

9．解：
欲使此五位数最大，则首位数字一定是9，又因为此五位数的数字不重复，则千位、 百
位的数字也应尽量大，则让千位数字为8，百位数字为7。设这个数为
987ab
， 由能被11
整除的数的性质（9+7+b）-（8+a）=8+b-a能被11整除。欲使
98 7ab
尽量大，则a应尽量
大。那么8+b-a=11，化简得b-a=3，因为a、b的值同 增、减，则b取最大值时，a值也最大。
剩下的数中6最大，则取b=6，那么a=3。
所以能被11整除的、最大的、没有重复数字的五位数是：98736。

10．解：
因为被除数137被错写成173，173-137=36则被除数比原来多了3 6。而商比原来多了3，
而且两个算式的余数相同，说明36可以被除数整除。
36÷3=12，那么除数为12。
137÷12=11„„5，173÷12=14„„5
符合题意。所以除数是12，余数是5。

11．解：
按规律多写出几 个，则这一列数：2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4„从第
三个起，每六个数 就重复出现。
（100－2）÷6=16„„2，所以第100个数为8、2、6、2、2、4中的第二个数是2。