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数的整除知识点
LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY- LGUA8Q8-LGA162】

数的整除知识点
数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课
题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
数的整除
1.整除——因数和倍数
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c， 即整数a除以整除b
（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是
0）， 我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因
数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍
数，7是63的因数。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整
除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果
bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整
除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特< br>征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整
数，必能被2整除；另一方面， 能被2整除的数，其个位数字只能是
偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）
整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1 800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4
与25的倍数.又因为4｜64，所以 1864能被4整除.但因为2564，所
以1864不能被25整除.
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整
除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数 ，所以
29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整
除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之 和与偶数
位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
解：这个数奇数位上的数字之和是9 ＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的
数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字 和的差是：（4＋5＋
1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此1357 4
是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整
除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两 个数.因为1059-282＝777，又
7｜777，所以7｜1059282.因此1059282 是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3 546和725两个数.因为3546-725=2821.再把
2821分为2和821两个数，因为 821—2＝819，又13｜819，所以
13｜2821，进而13｜3546725.
质数和合数

1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做
素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因
数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
解：∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它
是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数为什么

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间 ，那么显然其
中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连 续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数
显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇 数中必只有一
个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.
这样，至多另 4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相
等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，
所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（= 2×3）只能放
在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二
组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个 是它们的平均数，
且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于×40×40＝
64000， 远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。
解：42560=26×5×7×19
＝25×（5×7）×（19×2）
＝32×35×38（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，
a×c＝10.求a×b×c是多少？

解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）
=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴a×b×c=22×32×52
∴（a×b×c）＝（2×3×5）
a×b×c=2×3×5＝30
在例 7中有a＝2，b=3，c=5，其中2=4，3＝9，5＝25，像4、
9、25这样的数，推及一般 情况，我们把一个自然数平方所得到的数
叫做完全平方数或叫做平方数。
如.1=1，2＝4 ，3＝9，4=16，…，11=121，12=144，…其中
1，4，9，16，…，121，14 4，…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的
指数有什么特征。

222222
222222222
22
222

例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=3 36=2×3 144=3×2
1600=2×5 275625=3×5×7
可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶
数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶
数，那么这个自然数一定是 完全平方数。
如上例中，36＝6，144=12，1600=40，275625=525。
例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与
这个平方数。
分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，
∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
解：∵1080×a=23×33×5×a，
又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是
奇数，
∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
例9 问360共有多少个约数？
分析 360=2×3×5。
32
2222
62242
22224

为了求360有多少个约数，我们先来看3×5有多少个约
数，然后再把所有这些约数分别 乘以1、2、2、2，即得到2×3×5
（=360）的所有约数.为了求3×5有多少个约数，可以先 求出5有
多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、3，即得到3×5的
所有约数。
解：记5的约数个数为Y1，
3×5的约数个数为Y2，
360（=2×3×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，
显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。
因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、2、2”中数的个
数，也就是其中2的最 大指数加1，也就是360＝2×3×5中质因数
2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、 3、3”中数的个数，也
就是2×3×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2×3×5中质因数5的个数加1.因此
Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
对于任何一个合数，用类似于对23×32×5 （=360）的约数个数的讨
论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数
（即指数）加1的连乘的积。

32
32
2
32
23
32
2
2 2
2
2332
2

例10 求240的约数的个数。
解：∵240＝2×3×5，
∴240的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？
公因数和最大公因数
1.公因数和最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做
这几个数的最大公因数。
例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12；
18的因数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公数因有：1，2，3，6.其中6是1 2和18的最大
公约数，记作（12，18）=6。
2.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做
这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…
18的倍数有：18，36，54，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72，….其中 36是12和18的最小
公倍数，记作[12，18]=36。
3.互质数

4

如果两个数只有公因数1，那么这两个数互为互质数。
奇数和偶数
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被
2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1
数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。

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