快速验证整除性的方法
张佩君-激励
快速验证整除性的方法：
截尾法，或从个位数开始的割尾法：
1位截尾，1倍割数差（即「截尾、1倍大、相减、验差」）：11
1位截尾，2倍割数差（即「截尾、2倍大、相减、验差」）：7
1位截尾，2倍割数和（即「截尾、2倍大、相加、验差」）：19
1位截尾，4倍割数和（即「截尾、4倍大、相加、验差」）：13
1位截尾，5倍割数差（即「截尾、5倍大、相减、验差」）：17
2位截尾，1倍割数差：101
3位截尾，1倍割数差：
7，11，13若原数大于三位，则末三位与前面剩余数的差，验证
3位截尾，3倍剩数差：
17若原数大于三位，则末三位与
与3倍前面的剩余数的差被
17整除，验证
3位截尾，7倍剩数差：19，若一个整数的末三位与7倍的前面的剩余数的差能被19整除
4位截尾，1倍割数差：73，137，若一个整数的末四位与剩余数的差能被73，137整除（熟悉1000
1=73x137）
4位截尾，1倍割数和：101若一个整数的末四位与前面1倍的剩余数的和能被101整除
4位截尾，5倍剩数差：23，29，若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被23，29整除
5位截尾，1倍割数差：9091，若一个整数的末四位与前面剩余数的差能被9091整除
截断（分段）法：
一．截断求和法9，99及其约数（两位截断），999（及其约
数37，111，333等）（三位截断），9999（及其约数101，9，
11，909等）（四位
截断）截断，各段和，验证
二．截断奇偶位求差法：11，101，1001或其约数7，11，13，143，77，91
两位、两位截断，各段分类，各类求和，差，验证
ep。
7和13的倍数同样也用三位截断法来判断：
ababab=10101 x
ab，abcabc=1001 x abc，abcabcabc=1001001 x
abc，abcdabcd= 100010001 x abcd
其中10101（7，13），1
001，100010001=1001x1001甚至更多类似形式的数都很容易被证明是7和13的倍数。
其中1001=7x11x13,所以abcabc一定能被7，11，13整除
10001=73x137，所以abcdabcd，能被73，137整除
10010
01001=17x11x13x1000001,所以abcabcabc一定能被7，11，13整除 分解判定法：如
63
，要分解成熟悉的质因数，再分别判断；如不易分解，则尝试倍乘，如
667x3=2001
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（1位截断求和）
（7）a：1位截尾，2倍割数差； b：3位截尾，1倍割数差
（8）先看是不是偶数，若是，再看末尾三位数能被8，125整除，则这个数能被8，125整除。
（9）a（1位截断求和）10^2004-1要能可能出它是9的倍数
类推：N进制里，某数若每位数字（0~N）之和能被N-1除尽，则该数能被N-1整除
b（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段（无序不均匀长度）之和能被9整除，则这个数能被9整除
（11）a奇位和、偶位和的差，若能被11整除，则原数能被11整除
b：1位截尾，1倍割数差
c（无敌乱切）把原数无序不均匀随便分段，每段的末
尾数字在原数中排奇数位的归一类，偶数位的归一类，两
类各自的和相减，差能被11整除，则原数能被
11整除。
推论：偶数个连续相同数字组成的数；首尾相同，中间都是0，且0有偶数个的数；
（13）a：1位截尾，4倍割数和b：3位截尾，1倍割数差（14）：7的倍数中的偶数。
（15）：3的倍数中末位为0或5。
（16）：后四位能被16整除。16=2^4,所以看末4位。类推32，64，512，1024.
（17）a：1位截尾，5倍割数差b：3位截尾，3倍剩数差。
（18）：9的倍数中的偶数。
（19）a：1位截尾，2倍割数和b
：3位截尾，7倍剩数差
（23）：若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被23整除，则这个数能被23整除
（25）：最后两位数字是00；25；50；75可被整除
（27）：
对原数,从
个位不断做截取三位,分段相加,直至数字规模较小，然后验证。
（29）：若一个整数的末四位与前面5倍的剩余数的差能被29整除，则这个数能被29整除
（73）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除
（99，或其约数3，9，11，33）（2位截断求和）
（101）：a若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除
b若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除（2位截尾，1倍割数差）
c两位、两位截断，奇数段的和，偶数段的和，它们的差若能被101整除，则能被101整除
（125）：末三位数能被125整除（要熟悉375，625，750，875这几个末尾）；
（137）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除
（999或其约数如3，9，11，33，111，333等）：（3位截断求和）
（100
1或其约数7，11，13，143，77，91等）三位、三位截断，奇数段的和，偶数段的和。差若能被10
01整除
（9091）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除
（9999，或及其约数，如909等）：4位截断，所有段求和。
已知七位数7□□78□□不能被101整除，那么它的末两位数字组成的两位数
整除的性质：（1）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；（2）如果a同时被b与
c整除，并且b
与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
性质（1）若a|b且
b|c，则a|c
（2）若a|b，则a|kb（其中k为整数）
（3）若a|bc，且a与c互质，则a|b
（4）若a|b，a|c,则a|(b±c)
（5）若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a整除有下列基本性质：
①若a|b，a|c，则a|(b±c)。
②若a|b，则对任意c，a|bc。
③对任意非零整数a，±1|a，±a|a。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。 <
br>对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r
若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，
b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，
b的最大公因数。若a，b的最大
公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大
公因数，这种方法
常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
验证是质数的方法：N，算小于等于N里最大的一个平方数的根号，得m；（显然m小于等于N2）
从2，3，5.。。挑质数去除N一直到m；
如果一直到m都没有除尽，则才能说“N是质数”
如果未算到m就已经找到质因数，则N不是
质数，并继续挑质数去除N，直到最接近N2的一个
质数被验算完毕，即找到所有不同的质因数
整数的奇偶性
(1) 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，
偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；
即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数； <
br>（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4）的形式；
（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；
若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；
两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数
，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6； <
br>（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎
的余数为0,1，
4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a,b之积是一个
正整数的k次方幂（k≥2），若（a,b）=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整
数a
,b,c„„之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a,b,c„„两两互素，则a,b,c„„都是正整
数的k次方幂。