企业创新的重要性-乔布斯斯坦福演讲

最新高中数学培优拔高专题（附经典解析）

整数（整除）性问题
【探究拓展】
探究1：（1）已知二项式

5
x
1x

，其中
nN
，且
3n2012
，在其二项展
n
开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有
．．．
多少个？
解：连续三项的二项式系数分别为
C
n
k1
、
C
n
k
、
C
n
k1
（
1kn1< br>），由题意
kk1k1
2C
n
C
n
C
n
，依组合数的定义展开并整理得
n
2
(4k1)n4k
2
20
，故
n
1,2

4k18k9
2< br>，则
8k9(2m1)
2
2km
2
m2
，代入整理得
n
1
(m1)
2
2
，
n2
m
2
2
，
44
2
1936
，
45
2
2025
，故
n
的取值为
44
2
2
，
43
2
2
，…，
3
2
2
，共42个
（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等
形式）
（2）已 知
T
n

1
(1
3
1
)
，问是 否存在正整数
3n1
m，n，且1＜m＜n，使得
T
1
，T
m
，T
n
成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明
理由？
解：∴
T
n

1
(1
3
11n

)

T
n

3n133n1
∴
T< br>1

1
,T
m

4
m
，
T
n

n

3n1
3m1
∵
T
1
,T
m
,T
n
成等比数列．∴
(
2
m
2
1n1

2

2,12


)
，所以
m

1-
3
3m1 43n112

3

又∵
m
为正整数且
m2< br>，∴
m2
，n＝16，且1T
1
,T
m
,T
n
成
等比数列.
（3） 已知数列
{a
n
}
是等差数列，
a
1
a
2
a
315
，数列
{b
n
}
是等比数列，
b
1b
2
b
3
27
．

最新高中数学培优拔高专题（附经典解析）

① 若
a1
b
2
,a
4
b
3
．求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式；
② 若< br>a
1
b
1
,a
2
b
2
,a3
b
3
是正整数且成等比数列，求
a
3
的最大值．
（注：整数型问题一定要充分利用好条件中的整数进行求解）
解：（1）由题得
a< br>2
5,b
2
3
，所以
a
1
b
2
3
，从而等差数列
{a
n
}
的公差
d2，
所
以
a
n
2n1
，从而
b
3
a
4
9
，所以
b
n
3
n1
．
（2）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，等 比数列

b

的公比为
q
，则
a
n
1
5d
，
b
1

3
，
a
3
5d
q
，
b
3
3q
.
因为
a
1
b
1
,a
2
b
2
,a
3
b
3
成等比数列，所以
(a
1
b
1
)(a
3
b
3
)(a
2
b
2
)< br>2
64
．
设


a
1
b1
m
，
m,nN
*
，
mn64
， 
a
3
b
3
n
3


5 dm
q
则

，整理得，
d
2
(mn)d 5(mn)800
.

5d3qn

nm(m n10)
2
36
解得
d
2
（舍去负根）.
（预设提问：如何利用好m,n是正整数实现对本题的研究是本题的难
点）
Qa3
5d
，

要使得
a
3
最大，即需要d最 大，即
nm
及
(mn10)
2
取最大
值.
Q m,nN
，
mn64
，
*

当且仅当
n6 4
且
m1
时，
nm
及
(mn10)
2取最大值.
73761

2
从而最大的
d
637
2
61
， 所以，最大的
a
3



探究2：（2020年）（ 1）已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n

1
2
n2
，
S
n
是其前n

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S
n
m
2
m< br>项的和，问是否存在正整数
m,n
，使得成立？若存在，求

S
n1
m2
m
1
出所有符合条件的有序实数对

m, n

；若不存在，请说明理由.
解：
2(1
S
n< br>
11
)4(1
n
)m
m
n
2
m
2
4(1
1
)
，由
S
n
m

2
，得
2

m
1

n
11
S
n1
m2
m
1
221
14(1n+1
)m
22

当
m4
时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为
m
是正整数，故
m1,2,3
当
m1
时，由
()< br>得，
22
由
()
得，
22
或
3
或
4
，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对
(1,1),(2,1 ),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)
．
22
a
1
2
a
2
a
3
的正有理数，若
a
1
 d,b
1
d
，且
b
1
b
2
b
3
2
n
n
所以
n1
；当
m2
时，< br>38
，
所以
n1
或
2
；当
m3时，由
()
得，
22
n
20
，所以
n 2
212
，
(m,n)
为：
拓展1：已知等差数列
{a
n
}
的公差d不为0，等比数列
{b
n
}
的公比q 为小
于1是正整数，则q等于
________.
1

2
10xm10
存在整数零点，则拓展2：m∈N，若函数
f(x)2xm
值集合为
________.
解：当x∈Z，且x≤10时，
m
的整数零点．
若m≠0，则令f(x)= 0，得m=
m的取
10x
∈Z．若m=0，则x= -5为函数f(x)
2 x10
10x1
∈N．注意到-5≤x≤10，且
3
10x
∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，
22
，14，30}．故m的取值
集合为{0，3，14，30}．
拓展3：函数
f(x)ax
2
2( a3)xa2
中，
a
为负整数，则使函数至少有一

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个整数零点的所有的
a
值的和为______________. -14
拓展4：设
a,b
均为大于
1
的自然数，函数
f(x)a(bs inx),g(x)bcosx
，若
存在实数
m
使得
f(m) g(m)
，则
ab_____
.
拓展5：已知函数
f(x)ax
2
2
ab2
b
2
4b3x
,
g(x)x
2
(2a
2
x
2
)(aZ
*
,bZ)
，
若存在< br>x
0
，使
f(x
0
)
为
f(x)
的 最小值，
g(x
0
)
为
g(x)
的最大值，则此时数对(a,b)
为
_________.
解：由
f(x)ax
2
2b
2
4b3x
知
b
2
4b3 01b3
，又
bZ
得
b
2
4b3
a
b1,2,3
；而
f(x)
的最小值时
x
0
=
x
0
a
2

，又
g(x
0
)
为
g(x)
的最大值即
所以
b
2
4b3a
2
得
a
6
b
2
4b3
得
a
0
a
或1，则此时数对
(a,b)
为（1，2） 拓展6：各项均为正偶数的数列a
1
，a
2
，a
3
，a
4
中，前三项依次成公差
为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若
a
4
a
1
88
，则
，
8



5
37
q的所有可能的值构成的集合为 .
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么?