第2讲 数的整除性
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第2讲 数的整除性
三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及
11整除的数的特征，也学习了
一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些
性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整
除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互
质的自然数的乘积
整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数
中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能
被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，
8两两互质，由整除的性质（
3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，
十位都是0；再由能被9整除
的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。
例2
由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？
分析与解：因为41×2
71=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按
“11111”把2
000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，
因为2000
个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以
根据整除的性
质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：7
6550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积
能被12整除
？
分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整
除；
（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。
对于第（2）种情况，四个
数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所
以可以选76554和765
50，76554和76552。
对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，7
6551和76554都能被3整除，
所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550
和76554， 76552和76554， 76551和 76552。
例4
在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很
多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应
选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。
上面
两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数
的特征，如果奇数
位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。
满足这些要求的五位数是
： 97999，99979， 98989。
例5
能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。
假设
题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之
和都能被3整除，推知
1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3
整除。这个矛盾说明假设不成
立，所以题目的要求不能实现。
练习2
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的
3个四位
数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？