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数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练
知识梳理：
1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能
被b整 除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。
3、整除的数，其数字和一定是9的倍数．
4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被
11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表
示的三位 数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整
除。

例题精讲
1、判断47382能否被3或9整除？
分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解：47382能被3整除，不能被9整除

2、判断42559，7295871能否被11整除？
分析：一个三位以上的整数能否 被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之
和的差能否被11整除。
解 ：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数 ，
所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数 字和为2+5+7=14，
25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。

3、32335能否被7整除？
分析：一个三位以上的整数能否被7（11或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三
位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能 否被7（11或13）整除。
解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。

专题特训
1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？

2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A= B= ？
3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、 6整
除，先后填入的3个数分别是几？
4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？
5、用1~7七个数字组成不重 复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数
差是多少？
6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？
7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?
8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？
9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？
10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？


1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至
少再连续写三次， 得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。
2、解：由能被2和5整除可判断B=0 。能被3和9整除可得A可能是0、9，
由能被4整除可得A只能为0，所以A=0，B=0。
3、解：能被9整除，□中应填7，能被11整除，□中应填8，能被6整除，□
中应填4 < br>4、解：21=3×7，所以8756□4321能被3和7同时整除，根据特征判断可得□
中应 填0。
5、解：根据能被11整除的数的特征，最大的七位数应为7645231，最小的七
位数为1235476，二者的差为7645231-1235476=6409755
6、解：这个数能被63整除即能被7和9同时整除，符合条件的数为22365。
7、解： 因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的
特征即可。根据整除特征 可得末位只能为0或5。
如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要 求数字和是3
的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199 =31，
260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍 数，所以题
中数字的末两位为90。
8、解：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和 是11的倍数,而3与11
互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、 66、99.
所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34。 9、解：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据
8的倍数,它 的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0
或8.而11的倍数奇偶位上数字和 的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,
这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数 字和差为0,两个方框
内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

又 23056088=2620

23856888=2711
所以,本题的答案是2620或2711。
10、解：因 为99=9×11,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的
倍数的特点,这个数 各位上数字的和是9的倍数.42□28□这个六位数中已知的四
个数的和是4+2+2+8=16,因 此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、
三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和 是2+2=4，而偶位上已知两
个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的 和与偶位上
数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从
以上 分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能
是8,应该是3,符合这两 个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位
上,4填在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又427284 99=4316，所以所得的商
是4316。

数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定 能被丙
数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定
能被这个自然数整除 。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都
能被3整除。
性质3 如 果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被
这两个互质的自然数的乘积整除。例如， 126能被9整除，又能被7整除，且9
与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
例1. 在853后面补上3个数字组成一个六位数，使这个六位数能同时被
3,4,5整除。这样的六位数中最大的是多少？
解题思路：因为3,4,5两两互质，所以 853□□□末两位可以是20,40,60,80,00，
再根据能被3整除的数的特征，8+5+3 +9+8+0=33，这个数最大是853980。
解：这样的六位数中最大的是853980。
做练习题。
例2．判断34101能不能被7或11或13整除。
解题思路：根据 能被7,11,13整除的数的特征，用末三位101减去末三位前
面的数34，即101-34=67 ，看这个差能不能被7、11、13整除就可以判断出34101
能不能被7、11、13整除。
解：101-34=67
67不能被7整除，所以34101不能被7整除。67不能被11 整除，所以34101
不能被11整除。67不能被13整除，所以34101不能被13整除。
例3．由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
解题思路：卡片6可以 看成9，所以能被2整除的有564，654，594，954，
456，546。
解：6个。
总结：我们要牢记能被n个特殊数整除的特征，归纳出一般性的规律。
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能

被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3
整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或
25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或
125）整除 。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9
整除。

练习：1.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能
被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？

2.42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是多少？

3.五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
4. 七位数175□62□的末位 数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个
数字，这个七位数都不是11的倍数。
5 .学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是
□67.9□元，你知道每 只小足球多少钱吗？
6.某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除， 那么它的最
后三位数字依次是多少？
比一比.在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个 三位数。如52中间插入
4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的 9
倍。这样的两位数共有多少个？

1. 解：有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。
2．讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字 a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。
要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b ）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2
或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上 数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使
原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b -a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）
是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
3．解：已知能被72整除。因为72 ＝8×9，8和9是互质数，所以
能被8既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要 求
整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之
和为A＋3＋2＋9 ＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。 4.讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与
偶位上各数字之和的差 是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有 b-a=8，或者a-b=3。
①当 b-a=8时，b可取9、8；
②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数
都不是11的倍数。
5.解：367.9272=5.11（元）
6.讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、 9的最小公倍数是2520。而1993000
÷2520=790余2200。于是再加上（2520 -2200）=320时，就可以了。所以最后
三位数字依次是3、2、0。

比一比.讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且
个位数字相同。则原 两位数的个位数字一定是0或5。
又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原 两位数的9
倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。
结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15
共4个。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,
减去个位数的2倍,如果 差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字
仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。（截尾、倍大 、相减、
验差」
能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个
数能被8整除
能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数
能被9整除
能被 11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和
的差能被11整除，则这个数能被11整 除。11的倍数检验法也可用
上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是
1
能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除，则这个数能被
12整除
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数
中，加上个位数的4倍，如果和是1 3的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断
1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×
4=12844 1284+4×4=1300，
截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止

能被17整除的数的特征 1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整
除。如果差太大或心算不易看 出是否17的倍数，就需要继续上述「截
尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 2、若一
个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数
能被17整除。
能被19整除的数的特征 1、若一个整数的个位数字截去，再从余下
的数中，加上个位数的 2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整
除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要 继续上述「截
尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 2、若一
个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数
能被19整除。
能被23整除的数的特征若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的
差能被23(或29)整除 ，则这个数能被23整除