能被整除的整数特征
演绎的近义词-相声词
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能被整除的整数特征
作者：杨
旸
来源：《新一代·上半月》2010年第09期
摘要
:探讨了整除与同余之间的关系,给出了时能被整除的整数的特征,同时给出了能被某些
或某一类的整数
整除的整数的特征及一些具体的形式。
关键字:整除;同余;整数特征;互素
中图分类号:O15文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)09-0098-02
1. 引言
整除问题是初等数论研究的一个基本而有趣
的问题,尤其是寻找一些数的整除特征一直吸
引着许多数学爱好者.例如,能被3、9、11等数整除的
整数特征,在许多文献中如《初等数
论》、《数论妙趣》等中可以看到。在徐兆强教授编著的《初等数论
》中一个同余例题:a>0,证
明17|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的5倍后能被1
7整除。我们将其推广至一个
与10互素的整数整除正整数的充要条件。与10互素的整数分为四类:1
0k+1、10k+3、10k+7、
10k+9(k∈Z),以下分别进行了讨论.为此先给出下面几
个引理:
引理1[1]:a=b(modm)?圳m|a-b或a=b+mt(t是实数)
引理 2[1]:a=b(modm),b=c(modm)?圯a=c(modm)
引理 3[3]:(c,m)=1,ac=bc(modm)?圯a=b(modm)
2.主要定理和推论
2.1 能被10k+1(k∈Z)整除的整数特征
对于与10互素的一种类型的整数,比如11、21等,我们有下面的结论.
定理1设a是大于0的整数,则10k+1(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,
然后减去个位数字的
k(k∈Z)倍后能被整除.
证明见文献[4].
定理2a是大于0的整数,10k+1(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后
加上个位数字
9k+1(k∈Z)的倍后能被10k+1整除.
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证明 设 a=10x+y,0≤y≤9
有a=10(x+(9k+1)y)-9(10k+1)y
根据引理1 可得
a=10(x+(9k+1)y)(mod(10+1))
由引理2 得
a=0(mod(10k+1))?圳10(x+(9k+1)y)=0(mod(10k+1))
又(10k+1,10)=1 ,
再由引理3 得到10(x+y)=0(mod
(10k+1))?圳x+(9k+1)y=0(mod(10k+1)?圳10k+1x+(9k+1)y)
证完.
于是可得到下面熟知的一些结论:
推论1正整数能被11整除的充要条件是将该正整数的个位数字截去,然后减去个位数字后
能被11整除
.
推论2正整数能被101整除的充要条件是将该正整数的个位数字截去,然后减
去个位数字
后能被101整除.
2.2
能被10k+3(k∈Z)整除的整数特征
对于与10互素的另一种类型的整数,比如13、23等,我们也有下面的结论.
定理3正整数能被10k+3(k∈Z)整除的充要条件是把a的个位数字截去,然后加上个位数字
3k
+1(k∈Z)的倍后能被10k+3整除.
证明见文献[4].
类似地,我们也可以得到与定理3平行的结论:
定理4a是大于0的整数,10k
+3(k∈Z)|a?圳将a的个位数字截去,然后减去个位数字的7k+2
倍后能被10k+3整除.
证明 设a=10x+y,0≤y≤9
有
a=10(x-(7k+2)y)+7(10k+3)y