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§1.9整值函数的整除性
所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数
的函数。
例如，
F(a,b)=
-6,f(n)=n(n+1)(
-都是整值函数。
+1)
本节将讨论整值函数被整数整除的问题。我们将分别举例介绍分
类、公式、贾 宪数、递推四种方法。
一、分类法
一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。
例1若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).
证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即
6n±1(n∈)
若 p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以
p+2=6 n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.
例2设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。
求证：24|（-）.
分析要证24|（-），只要判定
可。
证明：设a=24q+r(0≤r<24), 由于a不能被2整除，也不能被3
整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a 可表示为：
24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,
24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,
被24除所得余数相同即

无论出现哪一种情况被24除余数都是1.同理可得，被24
除余数也是1.所以- 被24除余数是0，即24|（-）.
例1a,b均为整数，若7|(),求证：7|a且7|b.
分析要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即
可，为此，将a与b写成带 余除法表达式，按照余数的具体取
之情况分别讨论.
证明：设a=7m+，b=7n+,0,1,2,3,4,5,6.因为+=49(
可知取值
)+14(m+m)++
所以7|(+)+,但和只能取
0,1,4,9,16,25,36.+取值如表所列：
+

0
1
4
9
16
25
36
0
1
4
9
16
25
36
1
2
5
10
17
26
37
4
5
8
13
20
29
40
9
10
13
18
25
34
45
16
17
20
25
32
41
52
25
26
29
34
41
50
61
36
37
40
45
52
61
72

0 1 4 9 16 25 36
从表中可知，当且仅当=0， =0时才有+被7整除.此时a=7m
且b=7n,所以7|a且7|b成立.
例2
当nZ且n8qr(0r8)时，r只能是0,1,4

2

r0r4)时,r只能是0,1

例3
当n Z且n4q（
例4
求证：若a为整数，则6|

a(a1)(2a1 )

.

二、公式法
这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式：
1.若n为正整数，则
-=(a-b)(+b++)
2
2.若n为正偶数，则
-=(a+b)(-b+-)
3.若n为正奇数，则
+=(a+b)(-b++
.

)+(
,
，所以73|f(n)=
.
.

)
例3若n∈Z,求 证：73|f(n)=
证明：因为f(n)=
=(
=73
由公式可知73|（
例4当n为正奇数时，求证：60|
分析60=3
.
证明：

因为n为正奇数，所以3|（
同理4|，5|.

，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除
.

因为3,4,5两两互质，所以60|
例5求证：
证明：因为


所以
于是.

.
.
例1设n为非负整数，求证:f(n)=被23整除。
例2
当nN
时，求证：43|6
n2
7
2n1

133|（11
n2
12
2n1
).

例3
求证：当n为非负整数时，
nn
例4
当a,bZ,且ab,n是偶数时 ，（a+b)|(ab).

nn
例5
当a,bZ,且ab,n是奇 数时，（a+b)|(a+b).

三、贾宪数法
形如
易见：
1. 贾宪数是r个连续整数之积
被除所得的商数。
2. 当n
合数的推广。
定理1贾宪数是整数。
证明：（1）当n且0≤r≤n时，贾宪 数就是组合数，由组
且0≤r≤n时，贾宪数就是组合数，即它是组
(n,rN)的数叫做贾宪 数。
合数的意义可知，贾宪数是整数；

当n且n非负，n-r+1非正，故其中必有一个为0，所以

则此时贾宪数等于0.
（2）当n<0时，设,则

=
=
=
=
显然m+r-1≥r,所以
所以




是一个组合数，
是一个整数。
贾宪数是整数，这说明任意r个连续整数之积可被整除。
例如，3！|75
例6求证：（1）6|
.

),则

（2）若n为奇数，则8|
证明：（1）因为
（2）设n=2m+1(m
因为 2=2！|m(m+1),所以8|4m(m+1)，故8|（-1）.
例7求证：30|（

分析30不是某数之阶乘，故不能直接应用贾宪数法，但可分解为两
个或几个两两互质 数，然后分别证明每个数能整除
证明：
=n(
=n(n-1)(n+1)[(

-1)+1)

.
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).
因为5！|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2),所以
5|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2).
又因为5|5（n-1）n(n+1) ,所以5|（
因为3！=6|n(n-1)(n+1),所以6|（
由（5,6）=1，得5< br>同理可证10|
）.
）.
）.
），这说明10除和n所得的余数 相同，
和756的末位数字都是6.由和
)(请读者自己证明)。如
即和n的个位数字 相同。例如
n指数差4，猜想10|（
果结论成立，的末位数字是多少？
++n是整值函数. 例1 证明：f(n)=
分析f(n)=
6|(++n)即可.
,要证f(n)是整值函数，只需证明
证明
f(n)=++n
=
==

=
=


由于n(n+1)(n+2)及(n- 1)n(n+1)都是3个连续整数的乘积，必
有6|n(n+1)(n+2),6|(n-1)n(n +1),所以
6|[n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)],即
f(n)=是整值函数.
(mnk)!
证明：当m,n,kN时，的值总是整数
< br>例2

m!n!k!
是整数，所以f(n)=++n
n
3n
2
n
例3
证明：
当nz时，的值是整数
326

四、递推法
此处的递推法，特指把整值函数式转化为递推公式，进而通过递
推来证明一个整数整除一个整值函数.
例8若nN,求证：9|[(3n+1)
-1,则
-1,
-1].
证明：设f(n)=(3n+1)
f(n-1)=(3n-2)
所以
f(n )-f(n-1)=9(2n+1)
即f(n)=f(n-1)+9(2n+1)
9|f(n) 9|f(n-1).
,
,从而
因为9|f(0)=0,所以9|f(1),9|f(2),,9|f(n-1),9|f(n).

例9若n
数.
N,求证：f(n)=[()-]是正整
证明：设a=
所以a,b是方程

的两个根，则=a+1,
,b=,则a+b=1,ab=-1,
所以
;
同理
=
即
f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n
于是
.从而
+,
).
f(0)=1,f(1)=1,f(2)=f(0)+ f(1)=2,f(3)=f(1)+f(2)=3,
都是正整数.
例1n是自然数，证明13|

证明:(1)当n1时，有9
43
4
1664313511,所以13|（9
4
+3
4
+1).
(2)设nk时，命题成立，即13|（9
3k+1
+3
3k+1
+1），下面证明，n=k+1时
命题也成立。事实上，
3k+1）+13 k+1）+1
9
（
+3
（
+1=9
3k+4
+3
3k+4
+1
=7299
3k+1
+273
3k+1
+1
=（279
3k+1
+273
3k+1
+27）+7029
3k1
-26
=27（9
3k+1
+33k1
1)13(549
3k1
2)
由归纳假设，13|（ 9
3k1
3
3k+1
+1），又有13|1（3549
3k 1
2)得
3k+1）+13k+1）+1
13|（9
（
+3
（
+1）
即nk1时命题成立。根据数学归纳法原理得，对任意自然数n，
3k +1）+13k+1）+1
都有13|（9
（
+3
（
+1）
例2求证
例3
求证：x
n2
(n∈N*)能被64整除.
+(x 1)
2n1
(nN
*
)能被x
2
x1整除

2nn2n*
求证：633(nN)能被64整除

例4
nn1n*
例5
求证：anab(n1)b(nN,且n2)

nn
例6
设n为任意正整数，求105除以6的余数，

书上习题1.9
1. (1)设n，m为整数，求证：n+m,n-m,nm中必有一个是3的倍数.
(2)设a,b,c,d∈Z且a12|(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).
2.设,,为三个质数，且满足=+4,=+8,求证：=3.
3.如果u,v是整数，9|(+uv+),求证：3|u且3|v.
4.设n
5. 设n
Z,求证：576|(
Z,求证：8|n(n+1)(
-24n-25).
+1).

6.证明：f(n)=++n昰整值函数.
分别为平方数，立方数，5次方数. 7.求一个最小的正整数n,使,
8.设n
9. 设n
10.设n
N,求证：6|n(2n+1)(7n+1).
N,求证：288|(
N,证明：f(n)=(
-48n-7).
+是整值函数.
11.设p为大于5的质数，求证：240|(-1).
12.设|a|,|b|为大于5的质数，求证：15|(-).
13.证明：42|(-).
14.设a,bZ,求证：42|ab().
)(nN). 15.用数学归纳法证明：73|(
1. 利用整除的定义和基本性质
例1x,y,z均为整数，若11|(7x+2y-5z),求证：11|(3x-7y+12z).
证明因为
4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)
=(12x-28y+48z)+(21+6y-15z)
=11(3x-2y+3z) < br>而11|11(3x-2y+3z),且11|(7x+2y-5z),因此11|4(3x-7y+12 z).
又(11,4)=1,所以：11|(3x-7y+12z).
例2设a,b,c,d都是整数，且a-c︱ab+cd，求证：a-c︱ad+bc。
5|(8x7y).
例3
已知x,y为整数，则5|(x9y).求证：
6|(a
3
b
3
c
3
)
例4
已知 a,b,c为整数，且6|(ab+c),求证：

22
例5
求证：若 3|(4xy),则9|(4x7xy2y).

例6
求证：若(mp)|(mnpq),则(mp)|(mpnp).

3|a,3|b
例7
已知a,b为整数，且9|(a
2
abb
2
),求证：
例8
求证：若n|(mab),n|(mcd),则n|( adbc)

2.利用带余除法
例1
设ax
0
by< br>0
是形如axby(a,b不全为零）的整数中最小的正数，